Номер 13, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 13, страница 266.

Условие.

13 Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Измерить расстояние до недоступной точки (например, до дерева на другом берегу реки) можно с помощью геометрических построений на местности и тригонометрии. Для этого требуется измерить некоторые расстояния и углы на доступной территории. Рассмотрим два основных способа.

Способ 1: Триангуляция (общий случай)

Этот метод основан на решении треугольника по известной стороне и двум прилежащим углам с использованием теоремы синусов. Понадобится рулетка для измерения расстояния и прибор для измерения углов (теодолит, астролябия или транспортир).

1. На доступной вам стороне выберите две точки $A$ и $B$. Измерьте расстояние между ними. Это расстояние называется базисом. Обозначим его длину $c = AB$.
2. Находясь в точке $A$, измерьте угол между направлением на точку $B$ и направлением на недоступную точку $C$. Обозначим этот угол $\alpha = \angle CAB$.
3. Перейдите в точку $B$ и измерьте угол между направлением на точку $A$ и направлением на недоступную точку $C$. Обозначим этот угол $\beta = \angle CBA$.
4. Теперь у вас есть воображаемый треугольник $\triangle ABC$, в котором известна сторона $c$ и два прилежащих к ней угла $\alpha$ и $\beta$. Третий угол треугольника $\gamma = \angle ACB$ легко вычислить, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
   $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.
5. Используя теорему синусов, можно найти длины двух других сторон треугольника, которые и являются искомыми расстояниями $AC$ и $BC$.
   Теорема синусов: $\frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \gamma}$.
6. Из этой пропорции выражаем искомые расстояния:
   • Расстояние от точки A до точки C: $AC = \frac{AB \cdot \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{c \cdot \sin \beta}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)} = \frac{c \cdot \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$.
   • Расстояние от точки B до точки C: $BC = \frac{AB \cdot \sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{c \cdot \sin \alpha}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)} = \frac{c \cdot \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Ответ: Выбрав на местности базис $AB$ и измерив углы $\alpha = \angle CAB$ и $\beta = \angle CBA$, расстояние до недоступной точки $C$ можно вычислить по формулам: $AC = \frac{AB \cdot \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$ и $BC = \frac{AB \cdot \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Способ 2: Прямоугольный треугольник (частный случай)

Этот метод является частным случаем первого, но проще в вычислениях. Он применим, когда можно построить прямой угол на местности.

1. Выберите точку $A$ на местности так, чтобы воображаемая линия $AC$ к недоступной точке $C$ была перпендикулярна некоторому выбранному вами направлению (например, вдоль берега реки).
2. От точки $A$ вдоль этого перпендикулярного направления отложите отрезок $AB$ известной длины (базис). Таким образом, угол $\angle CAB$ будет равен $90^\circ$.
3. Перейдите в точку $B$ и измерьте угол $\beta = \angle ABC$ между линией базиса $BA$ и направлением на точку $C$.
4. В получившемся прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ искомое расстояние $AC$ является катетом. Его можно найти, используя определение тангенса.
5. Тангенс угла $\beta$ — это отношение противолежащего катета ($AC$) к прилежащему ($AB$):
   $\tan \beta = \frac{AC}{AB}$.
6. Отсюда искомое расстояние $AC$ равно:
   $AC = AB \cdot \tan \beta$.

Ответ: Построив на местности прямой угол $\angle CAB = 90^\circ$ и измерив длину катета (базиса) $AB$ и острый угол $\beta = \angle ABC$, искомое расстояние $AC$ вычисляется по формуле: $AC = AB \cdot \tan \beta$.