Номер 9, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 9, страница 266.

Условие.

9 Сформулируйте и докажите теорему синусов.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около этого треугольника окружности.

Для произвольного треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно, справедливо соотношение:

$$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $$

где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ и углами $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. Опишем около него окружность радиуса $R$. Докажем, что $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$.

Проведем из вершины $B$ диаметр $BD$. Рассмотрим треугольник $BCD$. Угол $BCD$ является вписанным и опирается на диаметр $BD$, следовательно, он прямой: $\angle BCD = 90^{\circ}$. Треугольник $BCD$ — прямоугольный.

Рассмотрим три возможных случая для угла $\alpha$.

1. Угол $\alpha$ — острый. Вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну и ту же дугу $BC$, следовательно, они равны: $\angle BDC = \angle BAC = \alpha$. В прямоугольном треугольнике $BCD$ по определению синуса острого угла имеем: $\sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD}$. Подставляя известные значения ($BC=a$, $BD=2R$), получаем: $\sin \alpha = \frac{a}{2R}$, откуда следует, что $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$.

2. Угол $\alpha$ — тупой. В этом случае вершины $A$ и $D$ лежат по разные стороны от хорды $BC$. Четырехугольник $ABDC$ вписан в окружность, а сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^{\circ}$. Следовательно, $\angle BDC + \angle BAC = 180^{\circ}$, откуда $\angle BDC = 180^{\circ} - \alpha$. В прямоугольном треугольнике $BCD$ имеем: $\sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD}$. Подставляя значения, получаем: $\sin(180^{\circ} - \alpha) = \frac{a}{2R}$. Согласно формулам приведения, $\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$. Таким образом, мы снова приходим к равенству $\sin \alpha = \frac{a}{2R}$, и, следовательно, $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$.

3. Угол $\alpha$ — прямой ($\alpha = 90^{\circ}$). В этом случае $\sin \alpha = \sin 90^{\circ} = 1$. Сторона $a$, лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой, а также диаметром описанной окружности: $a = 2R$. Равенство $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$ превращается в $\frac{2R}{1} = 2R$, что является верным.

Таким образом, для любой стороны треугольника доказано, что ее отношение к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Аналогичные рассуждения можно провести для сторон $b$ и $c$ и противолежащих им углов $\beta$ и $\gamma$, что дает равенства $\frac{b}{\sin \beta} = 2R$ и $\frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

Объединяя все три результата, получаем формулу теоремы синусов:

$$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема синусов утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно диаметру описанной окружности: $ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $, где $a, b, c$ — стороны треугольника, $\alpha, \beta, \gamma$ — противолежащие им углы, а $R$ — радиус описанной окружности.