Номер 4, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 4, страница 266.

Условие.

4 Что называется котангенсом угла $\alpha$? Для каких значений $\alpha$ котангенс не определён и почему?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Что называется котангенсом угла α?

Котангенсом угла $ \alpha $ (обозначается $ \text{ctg}\,\alpha $ или $ \cot \alpha $) называется тригонометрическая функция, которую можно определить несколькими способами:

• В прямоугольном треугольнике котангенс острого угла $ \alpha $ — это отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине противолежащего катета.
• Через синус и косинус: котангенс угла $ \alpha $ — это отношение косинуса этого угла к его синусу.
  $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $
• С помощью единичной окружности: если углу $ \alpha $ соответствует точка $ P(x, y) $ на единичной окружности, то котангенсом этого угла называется отношение абсциссы $ x $ этой точки к её ординате $ y $.
  $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{x}{y} $

Ответ: Котангенсом угла $ \alpha $ называется отношение косинуса этого угла к его синусу: $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.

Для каких значений α котангенс не определен и почему?

Котангенс угла $ \alpha $ определяется формулой $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $. Эта формула представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю, так как деление на ноль является неопределенной математической операцией.

Следовательно, котангенс не определен для тех значений угла $ \alpha $, при которых знаменатель $ \sin \alpha $ обращается в ноль.

Решим уравнение:
$ \sin \alpha = 0 $
Это уравнение имеет решения, когда угол $ \alpha $ является целым кратным $ \pi $ (в радианах) или $ 180^\circ $ (в градусах).
В радианах это выражается формулой:
$ \alpha = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (то есть $ n $ — любое целое число: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).

В градусах это соответствует углам:
$ \alpha = 180^\circ \cdot n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Например, котангенс не определен для углов $ 0^\circ, \pm 180^\circ, \pm 360^\circ, \dots $ или, в радианах, $ 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \dots $

Причина, по которой котангенс не определен при этих значениях, заключается в том, что его определение $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ приводит к делению на ноль.

Ответ: Котангенс не определен для значений $ \alpha = \pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $), потому что при этих значениях $ \sin \alpha = 0 $, что приводит к делению на ноль.