Номер 1054, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1054, страница 265.

Условие.

1054 Докажите, что если $AM$ — медиана треугольника $ABC$, то $4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Решение

Точка $M$ — середина отрезка $BC$, поэтому $2\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

Отсюда получаем

$(2\vec{AM}) \cdot (2\vec{AM}) = (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AC} \cdot \vec{AC} = AB^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A + AC^2$, или $4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$.

Второе утверждение задачи докажите самостоятельно.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.