Номер 1054, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1054, страница 265.

Условие.

1054 Докажите, что если $AM$ — медиана треугольника $ABC$, то $4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Решение

Точка $M$ — середина отрезка $BC$, поэтому $2\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

Отсюда получаем

$(2\vec{AM}) \cdot (2\vec{AM}) = (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AC} \cdot \vec{AC} = AB^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A + AC^2$, или $4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$.

Второе утверждение задачи докажите самостоятельно.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство формулы $4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM$ – медиана, проведенная к стороне $BC$. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $BC$.

В векторной форме для медианы $AM$ справедливо равенство, основанное на правиле параллелограмма для сложения векторов:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Умножим обе части этого равенства на 2:

$2\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}$

Теперь возведем обе части векторного равенства в квадрат. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$.

$(2\vec{AM})^2 = (\vec{AB} + \vec{AC})^2$

Рассмотрим левую часть:

$(2\vec{AM}) \cdot (2\vec{AM}) = 4(\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = 4|\vec{AM}|^2 = 4AM^2$

Рассмотрим правую часть, используя формулу квадрата суммы:

$(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + \vec{AC} \cdot \vec{AC}$

Это равносильно:

$|\vec{AB}|^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + |\vec{AC}|^2 = AB^2 + AC^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC})$

Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ определяется как произведение их длин на косинус угла между ними. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, выходящими из одной вершины $A$, равен углу $A$ треугольника.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos A = AB \cdot AC \cdot \cos A$

Подставим это выражение в правую часть:

$AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$

Приравнивая левую и правую части, получаем искомую формулу:

$4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула доказана.

Доказательство того, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Это означает, что боковые стороны $AB$ и $AC$ равны ($AB = AC$), а также равны углы при основании ($ \angle B = \angle C $).

Проведем медиану $BM_1$ к боковой стороне $AC$ и медиану $CN_1$ к боковой стороне $AB$. Нам нужно доказать, что $BM_1 = CN_1$.

Воспользуемся доказанной выше формулой. Для этого "мысленно" поставим себя в вершины, из которых выходят медианы.

1. Найдем длину медианы $BM_1$, выходящей из вершины $B$. В этом случае стороны, образующие угол $B$, это $BA$ и $BC$. Формула примет вид:

$4BM_1^2 = BA^2 + BC^2 + 2BA \cdot BC \cdot \cos B$

2. Найдем длину медианы $CN_1$, выходящей из вершины $C$. Стороны, образующие угол $C$, это $CA$ и $CB$. Формула примет вид:

$4CN_1^2 = CA^2 + CB^2 + 2CA \cdot CB \cdot \cos C$

Теперь сравним правые части этих двух выражений, учитывая свойства равнобедренного треугольника:

• $BA = CA$ (так как $AB=AC$ – боковые стороны). Следовательно, $BA^2 = CA^2$.
• $BC = CB$ (общая сторона-основание). Следовательно, $BC^2 = CB^2$.
• $\angle B = \angle C$ (углы при основании). Следовательно, $\cos B = \cos C$.

Подставив эти равенства в выражение для $4CN_1^2$, получим:

$4CN_1^2 = (BA)^2 + (BC)^2 + 2(BA) \cdot (BC) \cdot \cos B$

Видно, что правая часть этого выражения в точности совпадает с правой частью выражения для $4BM_1^2$.

Следовательно:

$4BM_1^2 = 4CN_1^2$

Разделив обе части на 4, получим:

$BM_1^2 = CN_1^2$

Так как длины отрезков являются положительными величинами, извлекаем квадратный корень:

$BM_1 = CN_1$

Таким образом, медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

Ответ: Доказано, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.