Номер 5, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 5, страница 266.

Условие.

5 Докажите основное тригонометрическое тождество.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Основное тригонометрическое тождество утверждает, что для любого угла $\alpha$ выполняется равенство: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Для доказательства этого тождества рассмотрим единичную окружность в декартовой системе координат. Это окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом, равным 1. Уравнение такой окружности имеет вид: $x^2 + y^2 = 1$.

Возьмем на этой окружности произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$. Положение этой точки однозначно определяется углом $\alpha$, который образует радиус-вектор $\vec{OM}$ с положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$).

Согласно определению тригонометрических функций через единичную окружность, абсцисса точки $M$ равна косинусу угла $\alpha$, а ордината — синусу угла $\alpha$:

$x = \cos \alpha$

$y = \sin \alpha$

Так как точка $M(x, y)$ принадлежит окружности, ее координаты должны удовлетворять уравнению окружности $x^2 + y^2 = 1$. Подставим в это уравнение вместо $x$ и $y$ их выражения через косинус и синус:

$(\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2 = 1$

Используя стандартные обозначения $\cos^2 \alpha$ для $(\cos \alpha)^2$ и $\sin^2 \alpha$ для $(\sin \alpha)^2$, получаем:

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$

Это равенство справедливо для любого угла $\alpha$, поскольку любая точка на единичной окружности соответствует некоторому углу. Таким образом, основное тригонометрическое тождество доказано.

Ответ: Основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ доказано с использованием единичной окружности, где координаты любой точки $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ должны удовлетворять уравнению окружности $x^2 + y^2 = 1$.