Номер 2, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 2, страница 266.

Условие.

2 Объясните, что такое синус и косинус угла $\alpha$ из промежутка $0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для определения синуса и косинуса угла $\alpha$ из промежутка $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ используется единичная полуокружность в прямоугольной системе координат. Рассмотрим полуокружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом, равным 1, расположенную в верхней полуплоскости (где $y \ge 0$).

Отложим от положительного направления оси абсцисс (оси Ox) угол $\alpha$ против часовой стрелки. Подвижный радиус, образующий этот угол, пересечет единичную полуокружность в некоторой точке M с координатами $(x; y)$.

Синус угла $\alpha$

Синусом угла $\alpha$ называется ордината (координата $y$) точки M на единичной полуокружности.

$\sin(\alpha) = y$

Поскольку точка M находится в I или II координатной четверти (в верхней полуплоскости), ее ордината всегда неотрицательна. Таким образом, для любого угла $\alpha$ из промежутка $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ выполняется неравенство $\sin(\alpha) \ge 0$.

Ответ: Синус угла $\alpha$ из промежутка $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ — это ордината точки M, полученной в результате поворота единичного радиуса на угол $\alpha$ относительно положительного направления оси Ox.

Косинус угла $\alpha$

Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки M на единичной полуокружности.

$\cos(\alpha) = x$

Абсцисса точки M может принимать различные значения:

• Если угол $\alpha$ острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$), точка M находится в I четверти, и ее абсцисса $x$ положительна, следовательно, $\cos(\alpha) > 0$.
• Если угол $\alpha$ прямой ($\alpha = 90^\circ$), точка M имеет координаты (0; 1), и ее абсцисса $x$ равна нулю, следовательно, $\cos(90^\circ) = 0$.
• Если угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$), точка M находится во II четверти, и ее абсцисса $x$ отрицательна, следовательно, $\cos(\alpha) < 0$.

Ответ: Косинус угла $\alpha$ из промежутка $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ — это абсцисса точки M, полученной в результате поворота единичного радиуса на угол $\alpha$ относительно положительного направления оси Ox.