Номер 1051, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1051, страница 265.

Условие.

1051 □ Известно, что $\overset{\frown}{ac} = \overset{\frown}{bc} = 60^\circ$, $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$. Вычислите $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для вычисления скалярного произведения $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}$ воспользуемся свойством дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов. Это свойство позволяет нам раскрыть скобки:

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c}$

Теперь вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя определение скалярного произведения: $\vec{x}\cdot\vec{y} = |\vec{x}| |\vec{y}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между векторами.

1. Вычислим скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{c}$.

Из условия известно, что угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$ равен $60^\circ$, а их модули (длины) равны $|\vec{a}|=1$ и $|\vec{c}|=2$.

$\vec{a}\cdot\vec{c} = |\vec{a}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}\vec{c}}) = 1 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\vec{a}\cdot\vec{c} = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

2. Вычислим скалярное произведение $\vec{b}\cdot\vec{c}$.

Из условия известно, что угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$ равен $60^\circ$, а их модули равны $|\vec{b}|=2$ и $|\vec{c}|=2$.

$\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos(\widehat{\vec{b}\vec{c}}) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ)$

$\vec{b}\cdot\vec{c} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

3. Теперь сложим полученные результаты, чтобы найти итоговое значение:

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c} = 1 + 2 = 3$

Ответ: 3