Номер 1046, страница 264 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1046, страница 264.

Условие.

1046 Докажите, что векторы $\vec{i} + \vec{j}$ и $\vec{i} - \vec{j}$ перпендикулярны, если $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — координатные векторы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Два ненулевых вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Чтобы доказать перпендикулярность векторов $\vec{a} = \vec{i} + \vec{j}$ и $\vec{b} = \vec{i} - \vec{j}$, найдем их скалярное произведение.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{i} + \vec{j}) \cdot (\vec{i} - \vec{j})$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, раскроем скобки:
$(\vec{i} + \vec{j}) \cdot (\vec{i} - \vec{j}) = \vec{i} \cdot \vec{i} - \vec{i} \cdot \vec{j} + \vec{j} \cdot \vec{i} - \vec{j} \cdot \vec{j}$

По условию, $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — координатные векторы. Это означает, что они образуют ортонормированный базис, то есть:
1. Они имеют единичную длину (модуль): $|\vec{i}| = 1$ и $|\vec{j}| = 1$.
2. Они взаимно перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$.

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{i} \cdot \vec{i} = |\vec{i}|^2 = 1^2 = 1$ и $\vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}|^2 = 1^2 = 1$.
Также, поскольку скалярное произведение коммутативно, $\vec{j} \cdot \vec{i} = \vec{i} \cdot \vec{j} = 0$.

Подставим эти значения в выражение для скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - 0 + 0 - 1 = 0$

Можно было также воспользоваться формулой разности квадратов для скалярного произведения:
$(\vec{i} + \vec{j}) \cdot (\vec{i} - \vec{j}) = |\vec{i}|^2 - |\vec{j}|^2 = 1^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, они перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярное произведение векторов $(\vec{i} + \vec{j})$ и $(\vec{i} - \vec{j})$ равно $0$, так как $(\vec{i} + \vec{j}) \cdot (\vec{i} - \vec{j}) = |\vec{i}|^2 - |\vec{j}|^2 = 1^2 - 1^2 = 0$. Следовательно, векторы перпендикулярны.