Номер 1048, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1048, страница 265.

Условие.

1048 ☐ Найдите косинусы углов треугольника с вершинами $A(2; 8)$, $B(-1; 5)$, $C(3; 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения косинусов углов треугольника с вершинами в точках A(2; 8), B(-1; 5) и C(3; 1) воспользуемся методом векторов. Косинус угла между двумя векторами можно найти через их скалярное произведение.

1. Сначала определим координаты векторов, которые образуют стороны треугольника, исходя из каждой вершины.

Координаты вектора, идущего из точки $(x_1, y_1)$ в точку $(x_2, y_2)$, вычисляются по формуле $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

• Для угла A: векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$

  $\vec{AB} = (-1 - 2; 5 - 8) = (-3; -3)$

  $\vec{AC} = (3 - 2; 1 - 8) = (1; -7)$

• Для угла B: векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$

  $\vec{BA} = (2 - (-1); 8 - 5) = (3; 3)$

  $\vec{BC} = (3 - (-1); 1 - 5) = (4; -4)$

• Для угла C: векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$

  $\vec{CA} = (2 - 3; 8 - 1) = (-1; 7)$

  $\vec{CB} = (-1 - 3; 5 - 1) = (-4; 4)$

2. Теперь вычислим косинусы углов, используя формулу для косинуса угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}(u_x, u_y)$ и $\vec{v}(v_x, v_y)$:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{u_x v_x + u_y v_y}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2} \cdot \sqrt{v_x^2 + v_y^2}}$

Косинус угла A

Угол A образован векторами $\vec{AB}(-3; -3)$ и $\vec{AC}(1; -7)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Вычислим косинус угла A:

$\cos(A) = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{15 \cdot 2} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\cos(A) = \frac{3}{5}$.

Косинус угла B

Угол B образован векторами $\vec{BA}(3; 3)$ и $\vec{BC}(4; -4)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) = 12 - 12 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, косинус угла также равен нулю. Это означает, что угол B — прямой ($90^\circ$).

Для полноты расчета найдем длины векторов:

$|\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

$|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Вычислим косинус угла B:

$\cos(B) = \frac{0}{3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = 0$.

Ответ: $\cos(B) = 0$.

Косинус угла C

Угол C образован векторами $\vec{CA}(-1; 7)$ и $\vec{CB}(-4; 4)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1) \cdot (-4) + 7 \cdot 4 = 4 + 28 = 32$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

$|\vec{CB}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Вычислим косинус угла C:

$\cos(C) = \frac{32}{5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{32}{20 \cdot 2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\cos(C) = \frac{4}{5}$.