Номер 1055, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1055, страница 265.

Условие.

1055 Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Рис. 305

Решение

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB и $AA_1$, $BB_1$ — его медианы, проведённые к боковым сторонам (рис. 305). Введём обозначения $\vec{CA_1}=\vec{a}$, $\vec{CB_1}=\vec{b}$, $CA_1=CB_1=a$. Тогда $\vec{AA_1}=\vec{CA_1}-\vec{CA}=\vec{a}-2\vec{b}$, $\vec{BB_1}=\vec{CB_1}-\vec{CB}=\vec{b}-2\vec{a}$, поэтому

$\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = (\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (\vec{b}-2\vec{a}) = 5\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b}$ (6)

По условию задачи $AA_1 \perp BB_1$ и, следовательно, $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1}=0$. Далее, $\vec{a} \cdot \vec{b} = a^2 \cos C$, $\vec{a} \cdot \vec{a} = a^2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = a^2$, поэтому равенство (6) принимает вид $0 = 5a^2 \cos C - 4a^2$. Отсюда получаем $\cos C = \frac{4}{5}$, $\angle C \approx 36^\circ 52'$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и равными боковыми сторонами $AC=BC$. Медианы, проведённые к боковым сторонам, — это $AA_1$ (к стороне $BC$) и $BB_1$ (к стороне $AC$). По условию задачи, эти медианы взаимно перпендикулярны, то есть $AA_1 \perp BB_1$. Необходимо найти величину угла $\angle C$, лежащего против основания.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Примем вершину $C$ за начало координат. Введём базовые векторы. Пусть $\vec{CA} = \vec{u}$ и $\vec{CB} = \vec{v}$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, то длины его боковых сторон равны: $|AC| = |BC|$. Следовательно, равны и модули соответствующих векторов: $|\vec{u}| = |\vec{v}|$. Обозначим эту длину как $L$.

Угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ — это и есть искомый угол $\angle C$.

По определению медианы, точка $A_1$ является серединой стороны $BC$, а точка $B_1$ — серединой стороны $AC$. Выразим векторы, проведённые из вершины $C$ к серединам боковых сторон:

$\vec{CA_1} = \frac{1}{2} \vec{CB} = \frac{1}{2} \vec{v}$

$\vec{CB_1} = \frac{1}{2} \vec{CA} = \frac{1}{2} \vec{u}$

Теперь выразим векторы медиан $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ через базовые векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{AA_1} = \vec{CA_1} - \vec{CA} = \frac{1}{2} \vec{v} - \vec{u}$

$\vec{BB_1} = \vec{CB_1} - \vec{CB} = \frac{1}{2} \vec{u} - \vec{v}$

Из условия задачи известно, что медианы перпендикулярны. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = 0$

Подставим в это равенство выражения для векторов медиан:

$(\frac{1}{2} \vec{v} - \vec{u}) \cdot (\frac{1}{2} \vec{u} - \vec{v}) = 0$

Раскроем скобки, применяя дистрибутивность скалярного произведения:

$(\frac{1}{2}\vec{v}) \cdot (\frac{1}{2}\vec{u}) - (\frac{1}{2}\vec{v}) \cdot \vec{v} - \vec{u} \cdot (\frac{1}{2}\vec{u}) + \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

$\frac{1}{4}(\vec{v} \cdot \vec{u}) - \frac{1}{2}(\vec{v} \cdot \vec{v}) - \frac{1}{2}(\vec{u} \cdot \vec{u}) + (\vec{u} \cdot \vec{v}) = 0$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$), сгруппируем подобные члены:

$\frac{5}{4}(\vec{u} \cdot \vec{v}) - \frac{1}{2}(\vec{u} \cdot \vec{u}) - \frac{1}{2}(\vec{v} \cdot \vec{v}) = 0$

Теперь воспользуемся определениями скалярного произведения и модуля вектора:

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos C = L \cdot L \cdot \cos C = L^2 \cos C$
• $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2 = L^2$
• $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2 = L^2$

Подставим эти выражения в полученное уравнение:

$\frac{5}{4}(L^2 \cos C) - \frac{1}{2}(L^2) - \frac{1}{2}(L^2) = 0$

$\frac{5}{4} L^2 \cos C - L^2 = 0$

Поскольку $L$ — это длина боковой стороны треугольника, $L \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $L^2$:

$\frac{5}{4} \cos C - 1 = 0$

Выразим из этого уравнения $\cos C$:

$\frac{5}{4} \cos C = 1$

$\cos C = \frac{4}{5}$

Чтобы найти сам угол $C$, нужно взять арккосинус от полученного значения:

$C = \arccos(\frac{4}{5})$

Это точное значение угла. Приближённое значение в градусах и минутах составляет:

$C \approx 36.87^\circ \approx 36^\circ 52'$

Ответ: Угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, равен $\arccos(\frac{4}{5})$ (приблизительно $36^\circ 52'$).