Номер 1055, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1055, страница 265.

Условие.

1055 Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Рис. 305

Решение

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB и $AA_1$, $BB_1$ — его медианы, проведённые к боковым сторонам (рис. 305). Введём обозначения $\vec{CA_1}=\vec{a}$, $\vec{CB_1}=\vec{b}$, $CA_1=CB_1=a$. Тогда $\vec{AA_1}=\vec{CA_1}-\vec{CA}=\vec{a}-2\vec{b}$, $\vec{BB_1}=\vec{CB_1}-\vec{CB}=\vec{b}-2\vec{a}$, поэтому

$\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = (\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (\vec{b}-2\vec{a}) = 5\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b}$ (6)

По условию задачи $AA_1 \perp BB_1$ и, следовательно, $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1}=0$. Далее, $\vec{a} \cdot \vec{b} = a^2 \cos C$, $\vec{a} \cdot \vec{a} = a^2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = a^2$, поэтому равенство (6) принимает вид $0 = 5a^2 \cos C - 4a^2$. Отсюда получаем $\cos C = \frac{4}{5}$, $\angle C \approx 36^\circ 52'$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.