Номер 6, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 6, страница 266.

Условие.

6 Напишите формулы приведения.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулы приведения используются в тригонометрии для того, чтобы выразить тригонометрические функции углов вида $n \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$ (или $n \cdot 90^\circ \pm \alpha$, где $n$ — целое число) через тригонометрические функции острого угла $\alpha$.

Для запоминания и применения этих формул существует общее мнемоническое правило, которое состоит из двух шагов:

1. Определение знака. Перед итоговой функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в той координатной четверти, где находится первоначальный угол $n \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$. При этом угол $\alpha$ условно считается острым ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).

2. Определение названия функции. Название итоговой функции зависит от значения $n$:

   • Если $n$ — четное число (т.е. угол имеет вид $\pi \pm \alpha$ или $2\pi \pm \alpha$), то название исходной функции сохраняется.

   • Если $n$ — нечетное число (т.е. угол имеет вид $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ или $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$), то название исходной функции меняется на кофункцию (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс).

Ответ:

Формулы для углов $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ (или $90^\circ \pm \alpha$)

$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$	$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$
$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$	$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$
$\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cot\alpha$	$\tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\cot\alpha$
$\cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tan\alpha$	$\cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\tan\alpha$

Формулы для углов $\pi \pm \alpha$ (или $180^\circ \pm \alpha$)

$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$	$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$
$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$	$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$
$\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$	$\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$
$\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha$	$\cot(\pi + \alpha) = \cot\alpha$

Формулы для углов $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$ (или $270^\circ \pm \alpha$)

$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$	$\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha$
$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha$	$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$
$\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cot\alpha$	$\tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cot\alpha$
$\cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \tan\alpha$	$\cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tan\alpha$

Формулы для углов $2\pi \pm \alpha$ (или $360^\circ \pm \alpha$)

$\sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha$	$\sin(2\pi + \alpha) = \sin\alpha$
$\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$	$\cos(2\pi + \alpha) = \cos\alpha$
$\tan(2\pi - \alpha) = -\tan\alpha$	$\tan(2\pi + \alpha) = \tan\alpha$
$\cot(2\pi - \alpha) = -\cot\alpha$	$\cot(2\pi + \alpha) = \cot\alpha$