Номер 12, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 12, страница 266.

Условие.

12 Объясните, как определить высоту предмета, основание которого недоступно.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для определения высоты предмета, основание которого недоступно, можно применить тригонометрический метод. Этот метод основан на измерении углов возвышения на вершину предмета из двух разных точек, расстояние между которыми известно.

Пусть $H$ — искомая высота предмета. Для её нахождения необходимо выполнить следующие действия. Сначала, находясь в некоторой точке $A$, измеряют с помощью угломерного инструмента (например, теодолита) угол возвышения $\alpha$ — угол между горизонталью и направлением на вершину предмета. Затем перемещаются по прямой, ведущей к основанию предмета (или от него), на известное расстояние $d$ до точки $B$. В точке $B$ снова измеряют угол возвышения $\beta$.

Эти измерения позволяют рассмотреть два воображаемых прямоугольных треугольника. В первом треугольнике, с вершинами в точке $A$, основании предмета $D$ и вершине предмета $C$, выполняется соотношение $ \tan \alpha = \frac{H}{AD} $, где $AD$ — расстояние от точки $A$ до проекции вершины на землю. Отсюда $ AD = \frac{H}{\tan \alpha} $. Во втором треугольнике, с вершинами в точке $B$, основании $D$ и вершине $C$, аналогично $ \tan \beta = \frac{H}{BD} $, откуда $ BD = \frac{H}{\tan \beta} $.

Расстояние $d$ между точками $A$ и $B$ связано с расстояниями $AD$ и $BD$. Если при перемещении мы приблизились к предмету (точка $B$ находится между $A$ и $D$), то $ d = AD - BD $. Если удалились (точка $A$ находится между $B$ и $D$), то $ d = BD - AD $. Подставив выражения для $AD$ и $BD$ в одно из этих равенств, например, в первое: $ d = \frac{H}{\tan \alpha} - \frac{H}{\tan \beta} $. Выразив из этого уравнения $H$, получим расчетную формулу. Окончательная формула для высоты $H$, которая подходит для обоих случаев, выглядит так: $ H = \frac{d \cdot \tan \alpha \tan \beta}{|\tan \beta - \tan \alpha|} $. Знак модуля в знаменателе учитывает оба случая движения (приближение и удаление).

Ответ: Чтобы определить высоту предмета с недоступным основанием, нужно измерить угол возвышения на его вершину ($\alpha$) из одной точки, затем переместиться на известное расстояние ($d$) по прямой линии к основанию предмета или от него, измерить новый угол возвышения ($\beta$) из второй точки и рассчитать высоту по формуле $ H = \frac{d \cdot \tan \alpha \tan \beta}{|\tan \beta - \tan \alpha|} $.