Номер 15, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 15, страница 266.

Условие.

15 Какие два вектора называются перпендикулярными?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан). Если хотя бы один из векторов является нулевым, он по определению считается перпендикулярным любому другому вектору.

Основным алгебраическим критерием перпендикулярности векторов является их скалярное произведение. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется через их длины (модули) и косинус угла $\theta$ между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta$

Поскольку косинус прямого угла равен нулю ($\cos(90^\circ) = 0$), скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю.

$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Это условие является необходимым и достаточным. Таким образом, два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной (декартовой) системе координат, то условие перпендикулярности выглядит следующим образом:

• Для векторов на плоскости $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$, их скалярное произведение равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$. Векторы перпендикулярны, если $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$.
• Для векторов в пространстве $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, их скалярное произведение равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. Векторы перпендикулярны, если $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$.

Ответ: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$, или, что эквивалентно, если их скалярное произведение равно нулю.