Номер 19, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 19, страница 267.

Условие.

19 Запишите условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с координатами ${x_1; y_1}$ и ${x_2; y_2}$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Два ненулевых вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ с координатами $\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_2; y_2\}$.

Скалярное произведение векторов через косинус угла $\alpha$ между ними определяется формулой:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Если векторы перпендикулярны, то угол $\alpha$ между ними равен $90^\circ$. Так как $\cos(90^\circ) = 0$, скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot 0 = 0$

Скалярное произведение векторов в координатной форме вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат:$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Приравнивая координатное выражение скалярного произведения к нулю, получаем условие перпендикулярности двух векторов:$x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$

Таким образом, два ненулевых вектора с координатами $\{x_1; y_1\}$ и $\{x_2; y_2\}$ перпендикулярны, если сумма произведений их соответствующих координат равна нулю.

Ответ: $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$