Номер 1060, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1060, страница 267.

Условие.

1060 □ Используя теорему синусов, решите треугольник $ABC$, если:

a) $AB = 8 \text{ см}$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$;

б) $AB = 5 \text{ см}$, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$;

в) $AB = 3 \text{ см}$, $BC = 3,3 \text{ см}$, $\angle A = 48^\circ 30'$;

г) $AC = 10,4 \text{ см}$, $BC = 5,2 \text{ см}$, $\angle B = 62^\circ 48'$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Будем использовать стандартные обозначения: $a, b, c$ — стороны, лежащие против углов $A, B, C$ соответственно. Таким образом, $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$.

Теорема синусов гласит: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

а) $AB = 8$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$

Дано: $c = 8$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$.

1. Найдём третий угол треугольника $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

2. По теореме синусов найдём стороны $AC$ (b) и $BC$ (a):

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\sin 105^\circ}$

3. Вычислим сторону $BC$:

$BC = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{8 \cdot 0.5}{\sin(60^\circ+45^\circ)} = \frac{4}{\sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = 4(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \approx 4.14$ см.

4. Вычислим сторону $AC$:

$AC = \frac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)} = \frac{16}{\sqrt{3}+1} = 8(\sqrt{3}-1) \approx 5.86$ см.

Ответ: $\angle C = 105^\circ$, $BC \approx 4.14$ см, $AC \approx 5.86$ см.

б) $AB = 5$ см, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$

Дано: $c = 5$ см, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$.

1. Найдём третий угол треугольника $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

2. По теореме синусов найдём стороны $AC$ (b) и $BC$ (a):

$\frac{BC}{\sin 75^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{5}{\sin 60^\circ}$

3. Вычислим сторону $BC$:

$BC = \frac{5 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6} = \frac{5(\sqrt{18}+\sqrt{6})}{6} = \frac{5(3\sqrt{2}+\sqrt{6})}{6} \approx 5.58$ см.

4. Вычислим сторону $AC$:

$AC = \frac{5 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{3} \approx 4.08$ см.

Ответ: $\angle A = 75^\circ$, $BC \approx 5.58$ см, $AC \approx 4.08$ см.

в) $AB = 3$ см, $BC = 3.3$ см, $\angle A = 48^\circ 30'$

Дано: $c = 3$ см, $a = 3.3$ см, $\angle A = 48^\circ 30' = 48.5^\circ$.

1. По теореме синусов найдём угол $\angle C$:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \sin C = \frac{c \cdot \sin A}{a}$

$\sin C = \frac{3 \cdot \sin 48.5^\circ}{3.3} \approx \frac{3 \cdot 0.74896}{3.3} \approx 0.68087$

2. Угол $C$ может быть равен $\angle C_1 = \arcsin(0.68087) \approx 42.91^\circ \approx 42^\circ 55'$ или $\angle C_2 = 180^\circ - \angle C_1 \approx 137^\circ 5'$.

Проверим оба случая:

Если $\angle C_1 \approx 42^\circ 55'$, то $\angle A + \angle C_1 = 48^\circ 30' + 42^\circ 55' = 91^\circ 25'$, что меньше $180^\circ$. Этот случай возможен.

Если $\angle C_2 \approx 137^\circ 5'$, то $\angle A + \angle C_2 = 48^\circ 30' + 137^\circ 5' = 185^\circ 35'$, что больше $180^\circ$. Этот случай невозможен.

Таким образом, существует только один треугольник с $\angle C \approx 42^\circ 55'$.

3. Найдём угол $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) \approx 180^\circ - 91^\circ 25' = 88^\circ 35'$.

4. Найдём сторону $AC$ (b) по теореме синусов:

$AC = b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} \approx \frac{3.3 \cdot \sin 88^\circ 35'}{\sin 48^\circ 30'} \approx \frac{3.3 \cdot 0.9997}{0.749} \approx 4.40$ см.

Ответ: $\angle C \approx 42^\circ 55'$, $\angle B \approx 88^\circ 35'$, $AC \approx 4.40$ см.

г) $AC = 10.4$ см, $BC = 5.2$ см, $\angle B = 62^\circ 48'$

Дано: $b = 10.4$ см, $a = 5.2$ см, $\angle B = 62^\circ 48' = 62.8^\circ$.

1. По теореме синусов найдём угол $\angle A$:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b}$

$\sin A = \frac{5.2 \cdot \sin 62.8^\circ}{10.4} = \frac{1}{2}\sin 62.8^\circ \approx 0.5 \cdot 0.88941 \approx 0.4447$

2. Угол $A$ может быть равен $\angle A_1 = \arcsin(0.4447) \approx 26.4^\circ \approx 26^\circ 24'$ или $\angle A_2 = 180^\circ - \angle A_1 \approx 153^\circ 36'$.

Проверим оба случая:

Если $\angle A_1 \approx 26^\circ 24'$, то $\angle B + \angle A_1 = 62^\circ 48' + 26^\circ 24' = 89^\circ 12'$, что меньше $180^\circ$. Этот случай возможен.

Если $\angle A_2 \approx 153^\circ 36'$, то $\angle B + \angle A_2 = 62^\circ 48' + 153^\circ 36' = 216^\circ 24'$, что больше $180^\circ$. Этот случай невозможен.

Таким образом, существует только один треугольник с $\angle A \approx 26^\circ 24'$.

3. Найдём угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle B + \angle A) \approx 180^\circ - 89^\circ 12' = 90^\circ 48'$.

4. Найдём сторону $AB$ (c) по теореме синусов:

$AB = c = \frac{b \cdot \sin C}{\sin B} \approx \frac{10.4 \cdot \sin 90^\circ 48'}{\sin 62^\circ 48'} \approx \frac{10.4 \cdot 0.9999}{0.8894} \approx 11.69$ см.

Ответ: $\angle A \approx 26^\circ 24'$, $\angle C \approx 90^\circ 48'$, $AB \approx 11.69$ см.