Номер 1059, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1059, страница 267.

Условие.

1059 Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Пусть $\alpha$ — это один из углов, образованных при пересечении диагоналей, например, $\angle AOB = \alpha$.

Диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площадь всего четырехугольника является суммой площадей этих четырех треугольников:$S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$

Площадь любого треугольника может быть вычислена по формуле половины произведения двух его сторон на синус угла между ними. Углы при пересечении диагоналей в точке O следующие:

• $\angle AOB = \alpha$
• $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$ (как смежный с $\angle AOB$)
• $\angle COD = \alpha$ (как вертикальный к $\angle AOB$)
• $\angle DOA = 180^\circ - \alpha$ (как вертикальный к $\angle BOC$)

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, вычислим площади треугольников, на которые диагонали делят четырехугольник:

• $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin(\alpha)$
• $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(\alpha)$
• $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin(\alpha)$
• $S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot AO \cdot \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(\alpha)$

Сложим площади этих треугольников, чтобы найти площадь четырехугольника:$S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \sin(\alpha) + \frac{1}{2} BO \cdot CO \sin(\alpha) + \frac{1}{2} CO \cdot DO \sin(\alpha) + \frac{1}{2} DO \cdot AO \sin(\alpha)$

Вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{2}\sin(\alpha)$:$S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin(\alpha)(AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO)$

Сгруппируем слагаемые в скобках и вынесем общие множители:$AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO = BO(AO + CO) + DO(CO + AO) = (AO + CO)(BO + DO)$

Поскольку отрезки $AO$ и $CO$ в сумме дают диагональ $AC$, а отрезки $BO$ и $DO$ — диагональ $BD$, то есть $AO + CO = AC = d_1$ и $BO + DO = BD = d_2$, мы можем подставить эти значения в формулу:$(AO + CO)(BO + DO) = d_1 \cdot d_2$

Таким образом, окончательная формула для площади четырехугольника:$S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

Это и доказывает, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Ответ: Утверждение доказано. Формула площади выпуклого четырехугольника: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin(\alpha)$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.