Номер 1063, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1063, страница 267.

Условие.

1063 Найдите биссектрису $AD$ треугольника $ABC$, если $\angle A = \alpha$, $AB = c$, $AC = b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения длины биссектрисы $AD$ воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ACD$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $C$ — угол между ними.

Площадь треугольника $ABC$ с известными сторонами $AB=c$, $AC=b$ и углом между ними $\angle A = \alpha$ равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} bc \sin(\alpha)$

Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$. Обозначим длину биссектрисы $AD$ как $l_a$.

Теперь выразим площади треугольников $ABD$ и $ACD$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} c \cdot l_a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} b \cdot l_a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$

Приравняем площадь большого треугольника сумме площадей двух малых:

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$

$\frac{1}{2} bc \sin(\alpha) = \frac{1}{2} c l_a \sin(\frac{\alpha}{2}) + \frac{1}{2} b l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Умножим обе части уравнения на 2 и вынесем общие множители в правой части:

$bc \sin(\alpha) = l_a \sin(\frac{\alpha}{2}) (b+c)$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(\alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$.

$bc \cdot 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) = l_a \sin(\frac{\alpha}{2}) (b+c)$

Так как $\alpha$ — угол треугольника, то $\sin(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$. Разделим обе части на $\sin(\frac{\alpha}{2})$:

$2bc \cos(\frac{\alpha}{2}) = l_a (b+c)$

Отсюда выражаем длину биссектрисы $l_a$ (то есть $AD$):

$AD = \frac{2bc \cos(\frac{\alpha}{2})}{b+c}$

Ответ: $AD = \frac{2bc \cos(\frac{\alpha}{2})}{b+c}$.