Номер 1062, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1062, страница 267.

Условие.

1062 ☐ В треугольнике $DEF$ $DE = 4,5 \text{ дм}$, $EF = 9,9 \text{ дм}$, $DF = 70 \text{ см}$.

Найдите углы треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи необходимо найти углы треугольника $DEF$ по трём известным сторонам. Для этого мы воспользуемся теоремой косинусов. Первым шагом приведём все длины сторон к одной единице измерения.

1. Приведение длин сторон к единой системе измерений

В условии даны стороны треугольника: $DE = 4,5$ дм, $EF = 9,9$ дм, $DF = 70$ см. Чтобы проводить вычисления, переведём длину стороны $DF$ из сантиметров в дециметры. Зная, что $1$ дм $= 10$ см, получаем:$DF = 70 \text{ см} = \frac{70}{10} \text{ дм} = 7$ дм. Таким образом, длины сторон треугольника, выраженные в дециметрах, равны: $DE = 4,5$ дм, $EF = 9,9$ дм, $DF = 7$ дм.

2. Проверка существования треугольника

Прежде чем вычислять углы, необходимо убедиться, что треугольник с такими сторонами может существовать. Для этого проверим выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Проверяем:$DE + DF > EF \implies 4,5 + 7 > 9,9 \implies 11,5 > 9,9$ (верно).$DE + EF > DF \implies 4,5 + 9,9 > 7 \implies 14,4 > 7$ (верно).$DF + EF > DE \implies 7 + 9,9 > 4,5 \implies 16,9 > 4,5$ (верно). Все три условия выполняются, следовательно, такой треугольник существует.

3. Вычисление углов по теореме косинусов

Теорема косинусов устанавливает связь между сторонами треугольника и косинусом одного из его углов. Формула для нахождения косинуса угла $\gamma$, противолежащего стороне $c$, выглядит так:$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Найдем косинус угла $D$, который лежит напротив стороны $EF$:$\cos(\angle D) = \frac{DE^2 + DF^2 - EF^2}{2 \cdot DE \cdot DF} = \frac{4,5^2 + 7^2 - 9,9^2}{2 \cdot 4,5 \cdot 7}$$\cos(\angle D) = \frac{20,25 + 49 - 98,01}{63} = \frac{69,25 - 98,01}{63} = \frac{-28,76}{63} \approx -0,4565$Теперь найдем сам угол, используя функцию арккосинуса:$\angle D = \arccos(-0,4565) \approx 117,16^\circ$.

Теперь найдем косинус угла $E$, который лежит напротив стороны $DF$:$\cos(\angle E) = \frac{DE^2 + EF^2 - DF^2}{2 \cdot DE \cdot EF} = \frac{4,5^2 + 9,9^2 - 7^2}{2 \cdot 4,5 \cdot 9,9}$$\cos(\angle E) = \frac{20,25 + 98,01 - 49}{89,1} = \frac{118,26 - 49}{89,1} = \frac{69,26}{89,1} \approx 0,7773$$\angle E = \arccos(0,7773) \approx 38,98^\circ$.

Третий угол $F$ можно найти, зная, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$:$\angle F = 180^\circ - \angle D - \angle E \approx 180^\circ - 117,16^\circ - 38,98^\circ = 180^\circ - 156,14^\circ = 23,86^\circ$.

Округлим полученные значения до десятых: $\angle D \approx 117,2^\circ$, $\angle E \approx 39,0^\circ$, $\angle F \approx 23,8^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $DEF$ примерно равны: $\angle D \approx 117,2^\circ$, $\angle E \approx 39,0^\circ$, $\angle F \approx 23,8^\circ$.