Номер 1061, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1061, страница 267.

Условие.

1061 □ Используя теорему косинусов, решите треугольник $ABC$, если:

а) $AB = 5$ см, $AC = 7,5$ см, $\angle A = 135^\circ$;

б) $AB = 2\sqrt{2}$ дм, $BC = 3$ дм, $\angle B = 45^\circ$;

в) $AC = 0,6$ м, $BC = \frac{\sqrt{3}}{4}$ дм, $\angle C = 150^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы. Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $A$, $B$, $C$ теорема косинусов имеет вид:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

Из этой теоремы можно выразить косинус угла:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

а) Дано: $AB = 5$ см, $AC = 7,5$ см, $\angle A = 135°$.

1. Найдем сторону $BC$ по теореме косинусов. В наших обозначениях $c = AB$, $b = AC$, $\angle A$ — угол между ними.
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$
$BC^2 = 5^2 + (7,5)^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7,5 \cdot \cos(135°)$
Поскольку $\cos(135°) = \cos(180° - 45°) = -\cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$BC^2 = 25 + 56,25 - 75 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 81,25 + 37,5\sqrt{2} \approx 81,25 + 37,5 \cdot 1,414 = 81,25 + 53,025 = 134,275$
$BC = \sqrt{134,275} \approx 11,59$ см.

2. Найдем угол $\angle B$ с помощью следствия из теоремы косинусов.
$\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$
$\cos(\angle B) \approx \frac{5^2 + 11,59^2 - 7,5^2}{2 \cdot 5 \cdot 11,59} = \frac{25 + 134,3281 - 56,25}{115,9} = \frac{103,0781}{115,9} \approx 0,8894$
$\angle B = \arccos(0,8894) \approx 27,2°$.

3. Сумма углов треугольника равна $180°$. Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180° - \angle A - \angle B \approx 180° - 135° - 27,2° = 17,8°$.

Ответ: $BC \approx 11,6$ см, $\angle B \approx 27,2°$, $\angle C \approx 17,8°$.

б) Дано: $AB = 2\sqrt{2}$ дм, $BC = 3$ дм, $\angle B = 45°$.

1. Найдем сторону $AC$ по теореме косинусов.
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$
$AC^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \cos(45°)$
Поскольку $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$AC^2 = 8 + 9 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 17 - \frac{12 \cdot 2}{2} = 17 - 12 = 5$
$AC = \sqrt{5}$ дм $\approx 2,24$ дм.

2. Найдем угол $\angle A$ по теореме косинусов.
$\cos(\angle A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$
$\cos(\angle A) = \frac{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 - 3^2}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{8 + 5 - 9}{4\sqrt{10}} = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$
$\cos(\angle A) \approx 0,3162$
$\angle A = \arccos(0,3162) \approx 71,6°$.

3. Сумма углов треугольника равна $180°$. Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180° - \angle B - \angle A \approx 180° - 45° - 71,6° = 63,4°$.

Ответ: $AC = \sqrt{5} \approx 2,24$ дм, $\angle A \approx 71,6°$, $\angle C \approx 63,4°$.

в) Дано: $AC = 0,6$ м, $BC = \frac{\sqrt{3}}{4}$ дм, $\angle C = 150°$.

1. Сначала приведем длины сторон к одной единице измерения. Поскольку $1$ м $= 10$ дм, то $AC = 0,6 \cdot 10 = 6$ дм.
Найдем сторону $AB$ по теореме косинусов:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
$AB^2 = 6^2 + (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 - 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \cos(150°)$
Поскольку $\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$AB^2 = 36 + \frac{3}{16} - 3\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 36 + \frac{3}{16} + \frac{9}{2}$
Приводя к общему знаменателю $16$:
$AB^2 = \frac{36 \cdot 16}{16} + \frac{3}{16} + \frac{9 \cdot 8}{16} = \frac{576 + 3 + 72}{16} = \frac{651}{16}$
$AB = \sqrt{\frac{651}{16}} = \frac{\sqrt{651}}{4}$ дм $\approx 6,38$ дм.

2. Найдем угол $\angle A$ по теореме косинусов.
$\cos(\angle A) = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB}$
$\cos(\angle A) = \frac{6^2 + (\frac{\sqrt{651}}{4})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{4})^2}{2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{651}}{4}} = \frac{36 + \frac{651}{16} - \frac{3}{16}}{3\sqrt{651}} = \frac{36 + \frac{648}{16}}{3\sqrt{651}} = \frac{36 + 40,5}{3\sqrt{651}} = \frac{76,5}{3\sqrt{651}} = \frac{25,5}{\sqrt{651}}$
$\cos(\angle A) \approx \frac{25,5}{25,515} \approx 0,9994$
$\angle A = \arccos(0,9994) \approx 2,0°$.

3. Сумма углов треугольника равна $180°$. Найдем угол $\angle B$:
$\angle B = 180° - \angle C - \angle A \approx 180° - 150° - 2,0° = 28,0°$.

Ответ: $AB = \frac{\sqrt{651}}{4} \approx 6,38$ дм, $\angle A \approx 2,0°$, $\angle B \approx 28,0°$.