Номер 20, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 20, страница 267.

Условие.

20 Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для вывода формулы воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, заданные своими координатами: $\vec{a}=\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2; y_2; z_2\}$. Угол между этими векторами обозначим как $\gamma$.

Рассмотрим вектор $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$. Его координаты будут $\{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$. Эти три вектора, если их отложить от одной точки, образуют треугольник, к которому можно применить теорему косинусов:

$|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\gamma)$

Подставим в это равенство вектор $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$:

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\gamma)$

Теперь выразим квадраты модулей (длин) векторов через их координаты. Квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его координат:

$|\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$

$|\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2$

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Раскроем скобки в выражении для $|\vec{b} - \vec{a}|^2$:

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = (x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2) + (y_2^2 - 2y_1y_2 + y_1^2) + (z_2^2 - 2z_1z_2 + z_1^2)$

Сгруппируем слагаемые:

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) + (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) - 2(x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2)$

Заменим суммы квадратов координат на квадраты модулей векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2)$

Теперь у нас есть два выражения для $|\vec{b} - \vec{a}|^2$. Приравняем их правые части:

$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\gamma) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2)$

Вычтем из обеих частей $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ и разделим на $-2$:

$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\gamma) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Отсюда выражаем косинус угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Подставим в знаменатель выражения для модулей векторов через их координаты $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$ и $|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}$, чтобы получить окончательную формулу:

$\cos(\gamma) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Данная формула верна как для векторов на плоскости (в этом случае третья координата $z$ просто равна нулю), так и для векторов в трехмерном пространстве.

Ответ: Косинус угла $\gamma$ между ненулевыми векторами $\vec{a}=\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2; y_2; z_2\}$ выражается формулой: $\cos(\gamma) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$.