Номер 14, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 14, страница 266.

Условие.

14 Объясните, что означают слова «угол между векторами $a$ и $\vec{b}$ равен $\alpha$». В каком случае угол между векторами считается равным $0^\circ$?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Объясните, что означают слова «угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha$»

Чтобы определить угол между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их необходимо отложить от одной произвольной точки $O$. Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется угол $\angle AOB$ между лучами $OA$ и $OB$.

Таким образом, слова «угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha$» означают, что величина угла, образованного этими векторами при совмещении их начальных точек, равна $\alpha$. Угол между векторами может принимать значения в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан).

Этот угол также можно определить через скалярное произведение векторов: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

Ответ: Это означает, что если отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной точки, то угол между получившимися лучами будет равен $\alpha$.

В каком случае угол между векторами считается равным 0°?

Угол между векторами равен $0^\circ$ в том случае, когда векторы сонаправлены. Это означает, что если отложить их от одной точки, то они лягут на один и тот же луч, то есть будут иметь одинаковое направление. В этом случае векторы называются сонаправленными и обозначаются как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Для ненулевых векторов это равносильно тому, что один вектор можно выразить через другой умножением на положительное число: $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, где $k > 0$. Из формулы скалярного произведения, если угол равен $0^\circ$, то $\cos(0^\circ) = 1$, и равенство принимает вид $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$, что является признаком сонаправленности векторов.

Ответ: Угол между ненулевыми векторами равен $0^\circ$, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление).