Номер 8, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 8, страница 266.

Условие.

8 Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Если в треугольнике стороны равны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\gamma$, то его площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$

Ответ: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.

Доказательство

Пусть в треугольнике $ABC$ известны стороны $AC = b$, $AB = c$ и угол между ними $\angle A = \alpha$. Докажем, что его площадь $S$ равна $\frac{1}{2}bc \sin\alpha$.

Известно, что площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Примем сторону $AC$ за основание. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на прямую $AC$. Тогда $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} b \cdot h_b$, где $h_b = BH$.

Теперь выразим высоту $h_b$ через известные элементы треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$.

1. Если угол $\alpha$ острый, то точка $H$ лежит на отрезке $AC$. В треугольнике $ABH$ катет $BH$ противолежит углу $\alpha$. По определению синуса: $\sin\alpha = \frac{BH}{AB} = \frac{h_b}{c}$. Отсюда $h_b = c \sin\alpha$.

2. Если угол $\alpha$ тупой, то точка $H$ лежит на продолжении стороны $AC$. В треугольнике $ABH$ катет $BH$ противолежит углу $\angle BAH = 180^\circ - \alpha$. Тогда $\sin(180^\circ - \alpha) = \frac{BH}{AB} = \frac{h_b}{c}$. Так как по формуле приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, мы снова получаем $h_b = c \sin\alpha$.

3. Если угол $\alpha$ прямой ($\alpha = 90^\circ$), то высота $BH$ совпадает со стороной $AB$, то есть $h_b = c$. Формула $h_b = c \sin\alpha$ также верна, так как $\sin(90^\circ) = 1$.

Во всех случаях высота, проведенная к стороне $b$, равна $h_b = c \sin\alpha$.

Подставим это выражение в формулу площади: $S = \frac{1}{2}b \cdot h_b = \frac{1}{2}b \cdot (c \sin\alpha) = \frac{1}{2}bc \sin\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана.