Номер 11, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 11, страница 266.

Условие.

11. Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

«Решение треугольника» — это нахождение всех его неизвестных элементов (сторон и углов) по известным элементам, которых достаточно для однозначного определения треугольника. У любого треугольника есть шесть основных элементов: три стороны (a, b, c) и три угла (α, β, γ). Для решения задачи обычно необходимо знать три из этих шести элементов, причем хотя бы один из них должен быть стороной.

Основными инструментами для решения треугольников являются теорема синусов, теорема косинусов и теорема о сумме углов треугольника ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$).

1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Дано: стороны $a$, $b$ и угол $\gamma$ между ними.

Найти: сторону $c$, углы $\alpha$ и $\beta$.

Решение:

1. По теореме косинусов находим третью сторону $c$:
   $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma$
   $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma}$
2. Используя теорему косинусов еще раз (или теорему синусов), находим один из неизвестных углов, например, угол $\alpha$:
   $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$
   $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
   $\alpha = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$
3. Третий угол $\beta$ находим из свойства о сумме углов треугольника:
   $\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$

Ответ: Треугольник решен, так как найдены все его неизвестные элементы: сторона $c$ и углы $\alpha$, $\beta$.

2. Решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Дано: сторона $a$ и два угла $\beta$ и $\gamma$.

Найти: угол $\alpha$, стороны $b$ и $c$.

Решение:

1. Находим третий угол $\alpha$ из свойства о сумме углов треугольника:
   $\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma)$
2. По теореме синусов находим две оставшиеся стороны $b$ и $c$:
   $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \Rightarrow b = \frac{a \cdot \sin\beta}{\sin\alpha}$
   $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma} \Rightarrow c = \frac{a \cdot \sin\gamma}{\sin\alpha}$

Ответ: Треугольник решен, так как найдены все его неизвестные элементы: угол $\alpha$ и стороны $b$, $c$.

3. Решение треугольника по трем сторонам

Дано: стороны $a$, $b$, $c$.

Найти: углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

Решение:

Сначала необходимо проверить, существует ли такой треугольник, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны ($a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$). Если условие выполняется, приступаем к решению.

1. По теореме косинусов находим один из углов, например, угол $\alpha$:
   $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$
   $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
   $\alpha = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$
2. Аналогично по теореме косинусов находим второй угол, например, $\beta$:
   $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta$
   $\cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
   $\beta = \arccos\left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right)$
3. Третий угол $\gamma$ находим из свойства о сумме углов треугольника:
   $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Ответ: Треугольник решен, так как найдены все его неизвестные элементы: углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.