Номер 7, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 7, страница 266.

Условие.

7 Выведите формулы, выражающие координаты точки A с неотрицательной ординатой через длину отрезка OA и угол между лучом OA и положительной полуосью Ox.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Пусть в прямоугольной системе координат точка $A$ имеет координаты $(x, y)$, а начало координат $O$ — $(0, 0)$. Обозначим длину отрезка $OA$ через $r$ (где $r \ge 0$) и угол между лучом $OA$ и положительной полуосью $Ox$ через $\alpha$. По условию задачи, ордината точки $A$ неотрицательна, то есть $y \ge 0$.

Для нахождения связи между декартовыми координатами $(x, y)$ и введенными величинами $(r, \alpha)$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный проекцией точки $A$ на ось абсцисс. Пусть $A_x$ — это проекция точки $A$ на ось $Ox$, тогда ее координаты $(x, 0)$. Треугольник $O A_x A$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_x$.

В этом треугольнике:
- гипотенуза $OA$ имеет длину $r$;
- катет $OA_x$, прилежащий к углу $\alpha$, имеет длину $|x|$;
- катет $A_x A$, противолежащий углу $\alpha$, имеет длину $|y|$.

Используя определения синуса и косинуса для острого угла в прямоугольном треугольнике, мы имеем:
$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{|x|}{r}$
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{|y|}{r}$

Эти определения обобщаются для произвольного угла $\alpha$. Координаты $x$ и $y$ любой точки $A$ выражаются через ее расстояние $r$ до начала координат и угол $\alpha$ следующими формулами, которые являются формулами перехода от полярных координат к декартовым:
$x = r \cos(\alpha)$
$y = r \sin(\alpha)$

Данные формулы автоматически учитывают знаки координат в зависимости от четверти, в которой находится точка $A$. Проверим соответствие условию $y \ge 0$. Это условие означает, что $r \sin(\alpha) \ge 0$. Поскольку длина $r$ по определению неотрицательна ($r \ge 0$), это эквивалентно условию $\sin(\alpha) \ge 0$. Это неравенство выполняется, когда угол $\alpha$ принадлежит промежутку $[0, \pi]$ (или, в общем виде, $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ для целых $k$), что соответствует расположению точки $A$ в верхней полуплоскости (в первой или второй координатной четверти).

Таким образом, искомые формулы, выражающие координаты точки $A$ с неотрицательной ординатой через длину отрезка $OA$ и угол $\alpha$, найдены.
Ответ: $x = r \cos(\alpha)$, $y = r \sin(\alpha)$, где $r$ — длина отрезка $OA$, а $\alpha$ — угол между лучом $OA$ и положительной полуосью $Ox$.