Номер 3, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 3, страница 266.

Условие.

3 Что называется тангенсом угла $\alpha$? Для какого значения $\alpha$ тангенс не определён и почему?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Что называется тангенсом угла α?

Тангенсом угла $\alpha$ (обозначается как $\tg \alpha$ или $\tan \alpha$) называется отношение синуса этого угла к его косинусу.

Математически это выражается формулой:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Также тангенс можно определить и геометрически. В контексте прямоугольного треугольника, тангенсом острого угла $\alpha$ называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине прилежащего катета. На единичной окружности тангенс угла $\alpha$ — это отношение ординаты (координаты y) к абсциссе (координате x) точки, соответствующей этому углу.

Ответ: Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение синуса угла $\alpha$ к косинусу угла $\alpha$.

Для какого значения α тангенс не определён и почему?

Исходя из определения тангенса как дроби $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, функция тангенса не определена в тех случаях, когда её знаменатель равен нулю. В данном случае знаменателем является $\cos \alpha$.

Таким образом, нам нужно найти значения $\alpha$, для которых выполняется условие:
$\cos \alpha = 0$

Это равенство справедливо для углов, которые на единичной окружности соответствуют точкам с абсциссой (координатой x) равной нулю, то есть верхней и нижней точкам окружности.

Общее решение этого уравнения имеет вид:
$\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В градусной мере это соответствует углам $\alpha = 90^\circ + 180^\circ k$.

Причина, по которой тангенс для этих значений не определён, заключается в том, что деление на ноль является недопустимой (неопределённой) математической операцией.

Ответ: Тангенс не определён для значений угла $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (или $90^\circ + 180^\circ k$), где $k$ — любое целое число, потому что для этих углов $\cos \alpha = 0$, а деление на ноль невозможно.