Номер 1052, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1052, страница 265.

Условие.

1052 Вычислите скалярное произведение векторов $p=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$ и $q=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$, если $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{c}|=4$ и $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для вычисления скалярного произведения векторов $\vec{p} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ и $\vec{q} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ сгруппируем слагаемые и воспользуемся формулой разности квадратов.

Запишем произведение в виде:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = ((\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c}) \cdot ((\vec{a} - \vec{b}) + \vec{c})$

Применяя аналог формулы $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для скалярного произведения векторов, получаем:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{a} - \vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2$

Теперь найдем квадрат длины (скалярный квадрат) вектора $(\vec{a} - \vec{b})$:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) + \vec{b}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Используем данные из условия задачи:

• $|\vec{a}| = 5$, следовательно $|\vec{a}|^2 = 25$.
• $|\vec{b}| = 2$, следовательно $|\vec{b}|^2 = 4$.
• $|\vec{c}| = 4$, следовательно $|\vec{c}|^2 = 16$.
• Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$), поэтому их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$.

Подставим эти значения, чтобы найти $|\vec{a} - \vec{b}|^2$:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 25 - 2(0) + 4 = 29$

Наконец, вычислим искомое скалярное произведение, подставив найденные значения в исходное выражение:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{a} - \vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 = 29 - 16 = 13$

Ответ: 13