Номер 1050, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1050, страница 265.

Условие.

1050 □ Вычислите $|\vec{a}+\vec{b}|$ и $|\vec{a}-\vec{b}|$, если $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=8$, $\widehat{ab}=60^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи мы будем использовать свойство скалярного произведения векторов. Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$. Также нам понадобится формула скалярного произведения через модули векторов и косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}\vec{b}})$.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя данные из условия: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 8$, $\widehat{\vec{a}\vec{b}} = 60^\circ$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$.

$|\vec{a} + \vec{b}|$
Найдем квадрат модуля суммы векторов:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$
Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$
Подставим известные значения:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 5^2 + 2 \cdot 20 + 8^2 = 25 + 40 + 64 = 129$
Чтобы найти модуль, извлечем квадратный корень:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{129}$
Ответ: $\sqrt{129}$

$|\vec{a} - \vec{b}|$
Теперь найдем квадрат модуля разности векторов:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$
Раскроем скобки:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$
Подставим известные значения:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 5^2 - 2 \cdot 20 + 8^2 = 25 - 40 + 64 = 49$
Извлечем квадратный корень, чтобы найти модуль:
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{49} = 7$
Ответ: $7$