Номер 1056, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1056, страница 266.

Условие.

1056 Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим ромб $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

1. По определению ромба, все его стороны равны. Таким образом, $AB = BC = CD = DA$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Поскольку стороны $AB$ и $BC$ равны, данный треугольник является равнобедренным с основанием $AC$.

3. Ромб является частным случаем параллелограмма. Одно из свойств параллелограмма заключается в том, что его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$, а отрезок $BO$ является медианой треугольника $\triangle ABC$, проведенной к основанию.

4. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является также его высотой и биссектрисой. Следовательно, медиана $BO$ является и высотой треугольника $\triangle ABC$.

5. По определению высоты треугольника, $BO$ перпендикулярен стороне $AC$, то есть $BO \perp AC$.

6. Так как отрезок $BO$ является частью диагонали $BD$, то и вся диагональ $BD$ перпендикулярна диагонали $AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, так как любая диагональ делит ромб на два равнобедренных треугольника, а вторая диагональ является в них медианой и, следовательно, высотой.