Номер 1053, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1053, страница 265.

Условие.

1053 Вычислите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{a}=3\vec{p}-2\vec{q}$ и $\vec{b}=\vec{p}+4\vec{q}$, где $\vec{p}$ и $\vec{q}$ — единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для вычисления скалярного произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ воспользуемся их разложением по векторам $\vec{p}$ и $\vec{q}$ и свойствами скалярного произведения.

Запишем скалярное произведение векторов $\vec{a} = 3\vec{p} - 2\vec{q}$ и $\vec{b} = \vec{p} + 4\vec{q}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{p} - 2\vec{q}) \cdot (\vec{p} + 4\vec{q})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения (правило умножения многочленов):
$(3\vec{p} - 2\vec{q}) \cdot (\vec{p} + 4\vec{q}) = 3\vec{p} \cdot \vec{p} + 3\vec{p} \cdot (4\vec{q}) - 2\vec{q} \cdot \vec{p} - 2\vec{q} \cdot (4\vec{q})$
$= 3(\vec{p} \cdot \vec{p}) + 12(\vec{p} \cdot \vec{q}) - 2(\vec{q} \cdot \vec{p}) - 8(\vec{q} \cdot \vec{q})$

Из условия задачи известно, что векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ являются единичными. Это означает, что их модули (длины) равны 1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
$\vec{p} \cdot \vec{p} = |\vec{p}|^2 = 1^2 = 1$
$\vec{q} \cdot \vec{q} = |\vec{q}|^2 = 1^2 = 1$

Также по условию векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$, и их скалярное произведение равно нулю:
$\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{q} \cdot \vec{p} = 0$

Теперь подставим эти значения в полученное выражение для скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(1) + 12(0) - 2(0) - 8(1)$

Выполним арифметические действия:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 0 - 0 - 8 = -5$

Ответ: -5