Номер 10, страница 266 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 10, страница 266.

Условие.

10. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, теорема косинусов записывается формулой:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$ и углом $\angle C = \gamma$.

Введем систему координат с началом в вершине $C$. Направим ось абсцисс ($Ox$) вдоль стороны $CB$. В этой системе координат вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

• $C(0; 0)$
• $B(a; 0)$ (поскольку длина $CB = a$)
• $A(b \cos \gamma; b \sin \gamma)$ (согласно определению синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, образованном стороной $AC$ и осями координат)

Теперь найдем квадрат длины стороны $AB$ (то есть $c^2$), используя формулу расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$:
$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Подставим координаты точек $A$ и $B$:
$c^2 = (a - b \cos \gamma)^2 + (0 - b \sin \gamma)^2$

Раскроем скобки:
$c^2 = a^2 - 2ab \cos \gamma + (b \cos \gamma)^2 + (-b \sin \gamma)^2$
$c^2 = a^2 - 2ab \cos \gamma + b^2 \cos^2 \gamma + b^2 \sin^2 \gamma$

Вынесем $b^2$ за скобки:
$c^2 = a^2 - 2ab \cos \gamma + b^2 (\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma = 1$, получаем:
$c^2 = a^2 - 2ab \cos \gamma + b^2 \cdot 1$

Перегруппируем слагаемые для получения стандартного вида:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Теорема доказана.

Ответ: Теорема косинусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ выполняется равенство: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.