Номер 18, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 18, страница 267.

Условие.

18 Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для вывода формулы, выражающей скалярное произведение векторов через их координаты, воспользуемся геометрическим определением скалярного произведения и теоремой косинусов.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат заданы два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами:
$\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$
$\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по определению равно произведению их длин (модулей) на косинус угла $\gamma$ между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\gamma$

Рассмотрим треугольник, образованный векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и вектором $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, если отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной точки. Длины сторон этого треугольника равны $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $|\vec{c}|$. Угол между сторонами, соответствующими векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, равен $\gamma$.

Применим к этому треугольнику теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и косинус одного из его углов:
$|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\gamma$

Заменим в этой формуле произведение $ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\gamma$ на скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 (\vec{a} \cdot \vec{b})$

Выразим из полученного равенства скалярное произведение:
$2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2)$

Теперь выразим квадраты длин векторов через их координаты. Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат.
$|\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$
$|\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2$
Координаты вектора $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ равны $\{x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2\}$, следовательно, квадрат его длины:
$|\vec{c}|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2$

Подставим эти выражения в формулу для скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} ( (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) + (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) - ((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2) )$

Раскроем квадраты разностей в последнем слагаемом:
$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2$
$(y_1 - y_2)^2 = y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2$
$(z_1 - z_2)^2 = z_1^2 - 2z_1z_2 + z_2^2$

Теперь подставим эти выражения обратно и проведем упрощение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} ( x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 - (x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) - (y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2) - (z_1^2 - 2z_1z_2 + z_2^2) )$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} ( x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 - x_1^2 + 2x_1x_2 - x_2^2 - y_1^2 + 2y_1y_2 - y_2^2 - z_1^2 + 2z_1z_2 - z_2^2 )$

Все члены с квадратами координат взаимно уничтожаются:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} ( 2x_1x_2 + 2y_1y_2 + 2z_1z_2 )$

После деления на 2 получаем искомую формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Эта формула показывает, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ выражается через их координаты формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.