Номер 1057, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1057, страница 267.

Условие.

1057 В равнобедренном треугольнике ABC $AB = AC = b$, $\angle A = 30^\circ$.

Найдите высоты $BE$ и $AD$, а также отрезки $AE$, $EC$, $BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ даны стороны $AB = AC = b$ и угол при вершине $\angle A = 30^\circ$.

Высота BE

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$, который образуется при проведении высоты $BE$ к стороне $AC$. В этом треугольнике $\angle AEB = 90^\circ$. Гипотенуза $AB$ равна $b$, а угол $\angle A = 30^\circ$. Высота $BE$ является катетом, противолежащим углу $A$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(A) = \frac{BE}{AB}$

$BE = AB \cdot \sin(A) = b \cdot \sin(30^\circ) = b \cdot \frac{1}{2} = \frac{b}{2}$

Ответ: $BE = \frac{b}{2}$.

Высота AD

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $AD$, проведенная к основанию $BC$, является также биссектрисой и медианой. Так как $AD$ — биссектриса, она делит угол $A$ пополам: $\angle BAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$, где $\angle ADB = 90^\circ$. Гипотенуза $AB=b$, а высота $AD$ является катетом, прилежащим к углу $\angle BAD$.

$AD = AB \cdot \cos(\angle BAD) = b \cdot \cos(15^\circ)$

Чтобы найти значение $\cos(15^\circ)$, используем формулу косинуса разности:

$\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Следовательно, $AD = b \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $AD = \frac{b(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$.

Отрезок AE

Найдем отрезок $AE$ из прямоугольного треугольника $ABE$. В этом треугольнике $AE$ — катет, прилежащий к углу $A$.

По определению косинуса:

$\cos(A) = \frac{AE}{AB}$

$AE = AB \cdot \cos(A) = b \cdot \cos(30^\circ) = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $AE = \frac{b\sqrt{3}}{2}$.

Отрезок EC

Точка $E$ лежит на стороне $AC$. Длина стороны $AC$ по условию равна $b$. Отрезок $EC$ можно найти как разность длин отрезков $AC$ и $AE$.

$EC = AC - AE = b - \frac{b\sqrt{3}}{2} = b(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{b(2 - \sqrt{3})}{2}$

Ответ: $EC = \frac{b(2 - \sqrt{3})}{2}$.

Сторона BC

Сторону $BC$ можно найти по теореме косинусов для треугольника $ABC$.

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)$

$BC^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos(30^\circ) = 2b^2 - 2b^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2b^2 - b^2\sqrt{3} = b^2(2 - \sqrt{3})$

$BC = \sqrt{b^2(2 - \sqrt{3})} = b\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

Также можно найти $BC$ через прямоугольный треугольник $ADB$. Так как $AD$ — медиана, $BC = 2 \cdot BD$. Катет $BD$ противолежит углу $\angle BAD = 15^\circ$.

$BD = AB \cdot \sin(15^\circ) = b \cdot \sin(45^\circ-30^\circ) = b \cdot (\sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)) = b \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}) = b\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

$BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot b\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = b\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$. Оба полученных выражения для $BC$ эквивалентны.

Ответ: $BC = b\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ или $BC = \frac{b(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$.