Номер 1064, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1064, страница 267.

Условие.

1064 Чтобы определить расстояние между точками $A$ и $B$, которое нельзя измерить, выбирают третью точку $C$, из которой видны точки $A$ и $B$. Измерив угол $ACB$ и расстояния $AC$ и $CB$, находят расстояние $AB$. Найдите $AB$, если $AC=b$, $CB=a$, $\angle ACB=\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольник $ABC$, образованный тремя точками. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон и угол между ними:

• длина стороны $AC = b$
• длина стороны $CB = a$
• угол между сторонами $AC$ и $CB$, $\angle ACB = \alpha$

Требуется найти длину третьей стороны $AB$.

Для нахождения длины третьей стороны треугольника по двум известным сторонам и углу между ними используется теорема косинусов. Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Применительно к нашему треугольнику $ABC$ формула будет выглядеть так: $AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos(\angle ACB)$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $AB^2 = b^2 + a^2 - 2 \cdot b \cdot a \cdot \cos(\alpha)$

Для удобства записи поменяем слагаемые местами: $AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Чтобы найти длину стороны $AB$, необходимо извлечь квадратный корень из полученного выражения. Так как длина стороны является положительной величиной, мы берем только положительное значение корня. $AB = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}$

Ответ: $AB = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}$