Номер 1071, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1071, страница 268.

Условие.

1071 В треугольнике ABC, площадь которого равна $3\sqrt{3}$, угол A острый, $AB = 4\sqrt{3}$, $AC=3$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{A}$, где $AB$ и $AC$ — две стороны треугольника, а $A$ — угол между ними.

Используя данные из условия ($S = 3\sqrt{3}$, $AB = 4\sqrt{3}$, $AC = 3$), найдем $\sin{A}$:

$3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \sin{A}$
$3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot \sin{A}$
$\sin{A} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся расширенной теоремой синусов, которая гласит, что $2R = \frac{a}{\sin{A}}$, где $a$ — сторона, противолежащая углу $A$. В нашем случае это сторона $BC$. Таким образом, $R = \frac{BC}{2\sin{A}}$. Для этого сначала нужно найти длину стороны $BC$.

Найдем $BC$ по теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{A}$.

Чтобы использовать эту формулу, найдем $\cos{A}$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2{A} + \cos^2{A} = 1$:

$\cos^2{A} = 1 - \sin^2{A} = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Так как по условию угол $A$ — острый, его косинус положителен: $\cos{A} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим $BC^2$:

$BC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$BC^2 = (16 \cdot 3) + 9 - 36$
$BC^2 = 48 + 9 - 36$
$BC^2 = 21$
Отсюда $BC = \sqrt{21}$.

Наконец, найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{BC}{2\sin{A}} = \frac{\sqrt{21}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{21}}{1} = \sqrt{21}$.

Ответ: $\sqrt{21}$