Номер 1076, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1076, страница 269.

Условие.

1076 Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся свойствами параллелограмма и признаками равенства треугольников.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Из этого следует, что все углы, образованные при пересечении диагоналей, являются прямыми: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$ и треугольник $\triangle COB$.

У этих треугольников:

• Сторона $BO$ является общей.
• Стороны $AO$ и $OC$ равны ($AO = OC$), так как по свойству параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Углы $\angle AOB$ и $\angle COB$ равны $90^\circ$ по условию.

Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle COB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = BC$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противоположные стороны равны: $AB = CD$ и $BC = DA$. Так как мы доказали, что смежные стороны $AB$ и $BC$ равны, то все стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.

По определению, параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.