Номер 1073, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1073, страница 268.

Условие.

1073 Четырёхугольник $ABCD$ задан координатами своих вершин: $A (-1; 2)$, $B (1; -2)$, $C (2; 0)$, $D (1; 6)$. Докажите, что $ABCD$ – трапеция, и найдите её площадь.

Решение

Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ имеют координаты: $AD \{2; 4\}$, $BC \{1; 2\}$. Эти векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональны. По координатам векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ находим их длины: $AD = \sqrt{20}$, $BC = \sqrt{5}$. Таким образом, $AD \parallel BC$ и $AD > BC$, следовательно, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $S$ — площадь трапеции $ABCD$. Согласно утверждению задачи 1059, $S = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. По формуле (5) § 3 найдём сначала $\cos (AC BD)$. Так как $AC \{3; -2\}$, $BD \{0; 8\}$, то $AC = \sqrt{13}$, $BD = 8$ и $\cos (AC BD) = \frac{3 \cdot 0 - 16}{\sqrt{13} \cdot 8} = -\frac{2}{\sqrt{13}}$.

Отсюда следует, что $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$. Таким образом, $S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot 8 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = 12$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Докажите, что ABCD — трапеция

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является трапецией, необходимо показать, что две его стороны параллельны, а две другие — нет. Параллельность сторон можно установить, проверив коллинеарность соответствующих им векторов. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника с вершинами A(−1; 2), B(1; −2), C(2; 0), D(1; 6):
$\vec{AD} = (1 - (-1); 6 - 2) = (2; 4)$
$\vec{BC} = (2 - 1; 0 - (-2)) = (1; 2)$
$\vec{AB} = (1 - (-1); -2 - 2) = (2; -4)$
$\vec{CD} = (1 - 2; 6 - 0) = (-1; 6)$

Сравним координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. Найдем отношение их соответствующих координат:
$\frac{2}{1} = 2$ и $\frac{4}{2} = 2$.
Так как отношения координат равны, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны, а значит, стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$).

Теперь сравним координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:
$\frac{2}{-1} = -2$ и $\frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Так как $-2 \ne -\frac{2}{3}$, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны, и стороны $AB$ и $CD$ не параллельны.

Поскольку у четырехугольника ABCD есть ровно одна пара параллельных сторон ($AD$ и $BC$), он является трапецией.

Ответ: Доказано, что ABCD — трапеция с основаниями AD и BC.

Найдите её площадь

Площадь выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле через длины его диагоналей $d_1$, $d_2$ и синус угла $\alpha$ между ними:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$.

Найдем векторы диагоналей $AC$ и $BD$:
$\vec{AC} = (2 - (-1); 0 - 2) = (3; -2)$
$\vec{BD} = (1 - 1; 6 - (-2)) = (0; 8)$

Вычислим длины (модули) этих векторов:
$d_1 = AC = |\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$
$d_2 = BD = |\vec{BD}| = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{64} = 8$

Чтобы найти синус угла между диагоналями, сначала найдем косинус этого угла, используя скалярное произведение векторов: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = AC \cdot BD \cdot \cos\alpha$.
Скалярное произведение векторов: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 8 = -16$.
Отсюда $\cos\alpha = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{AC \cdot BD} = \frac{-16}{\sqrt{13} \cdot 8} = -\frac{2}{\sqrt{13}}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, найдем синус угла. Для формулы площади используется положительное значение синуса, так как $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$.
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$.

Подставим найденные значения в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot 8 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12.