Номер 1073, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1073, страница 268.

Условие.

1073 Четырёхугольник $ABCD$ задан координатами своих вершин: $A (-1; 2)$, $B (1; -2)$, $C (2; 0)$, $D (1; 6)$. Докажите, что $ABCD$ – трапеция, и найдите её площадь.

Решение

Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ имеют координаты: $AD \{2; 4\}$, $BC \{1; 2\}$. Эти векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональны. По координатам векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ находим их длины: $AD = \sqrt{20}$, $BC = \sqrt{5}$. Таким образом, $AD \parallel BC$ и $AD > BC$, следовательно, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $S$ — площадь трапеции $ABCD$. Согласно утверждению задачи 1059, $S = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. По формуле (5) § 3 найдём сначала $\cos (AC BD)$. Так как $AC \{3; -2\}$, $BD \{0; 8\}$, то $AC = \sqrt{13}$, $BD = 8$ и $\cos (AC BD) = \frac{3 \cdot 0 - 16}{\sqrt{13} \cdot 8} = -\frac{2}{\sqrt{13}}$.

Отсюда следует, что $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$. Таким образом, $S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot 8 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = 12$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.