Номер 1075, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1075, страница 269.

Условие.

1075 В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, AM — медиана, b = AC, c = AB. Докажите, что:

a) $AD = \frac{2bc}{b+c} \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$,

б) $AM = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cos A}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ACD$.

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} bc \sin A$

Поскольку $AD$ — биссектриса, она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{A}{2}$.

Площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\frac{A}{2}) = \frac{1}{2} c \cdot AD \cdot \sin(\frac{A}{2})$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\frac{A}{2}) = \frac{1}{2} b \cdot AD \cdot \sin(\frac{A}{2})$

Подставим выражения для площадей в исходное равенство:

$\frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} c \cdot AD \cdot \sin(\frac{A}{2}) + \frac{1}{2} b \cdot AD \cdot \sin(\frac{A}{2})$

Умножим обе части на 2 и вынесем $AD \sin(\frac{A}{2})$ за скобки в правой части:

$bc \sin A = AD \cdot \sin(\frac{A}{2}) (b+c)$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin A = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$:

$bc \cdot 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}) = AD \cdot \sin(\frac{A}{2}) (b+c)$

Так как для невырожденного треугольника $\sin(\frac{A}{2}) \neq 0$, мы можем сократить обе части на $\sin(\frac{A}{2})$:

$2bc \cos(\frac{A}{2}) = AD (b+c)$

Отсюда выразим $AD$:

$AD = \frac{2bc}{b+c} \cos(\frac{A}{2})$

Теперь используем формулу косинуса половинного угла: $\cos(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$:

$AD = \frac{2bc}{b+c} \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Для нахождения длины медианы $AM$ достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABPC$, продлив медиану $AM$ на ее длину до точки $P$. В полученном параллелограмме диагонали $BC$ и $AP$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам. Следовательно, $AP = 2AM$.

Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$AP^2 + BC^2 = AB^2 + BP^2 + PC^2 + AC^2$

Так как $ABPC$ — параллелограмм, то $AB = PC = c$ и $AC = BP = b$. Тогда свойство принимает вид:

$AP^2 + BC^2 = 2(AB^2 + AC^2) = 2(c^2 + b^2)$

Заменим $AP$ на $2AM$:

$(2AM)^2 + BC^2 = 2(b^2 + c^2)$

$4AM^2 + BC^2 = 2(b^2 + c^2)$

Теперь выразим квадрат стороны $BC$ через теорему косинусов для треугольника $ABC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = c^2 + b^2 - 2bc \cos A$

Подставим это выражение в равенство для параллелограмма:

$4AM^2 + (b^2 + c^2 - 2bc \cos A) = 2(b^2 + c^2)$

Выразим $4AM^2$:

$4AM^2 = 2(b^2 + c^2) - (b^2 + c^2 - 2bc \cos A)$

$4AM^2 = 2b^2 + 2c^2 - b^2 - c^2 + 2bc \cos A$

$4AM^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$

Разделим обе части на 4 и извлечем квадратный корень:

$AM^2 = \frac{1}{4}(b^2 + c^2 + 2bc \cos A)$

$AM = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cos A}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.