Номер 1082, страница 276 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1082, страница 276.

Условие.

1082 Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$. Это свойство не зависит от того, является ли многоугольник правильным. Докажем это утверждение.

Внешний угол многоугольника при данной вершине — это угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. Пусть $\alpha_k$ — внутренний угол при $k$-й вершине, а $\beta_k$ — соответствующий ему внешний угол. Их сумма равна $180^\circ$:

$\alpha_k + \beta_k = 180^\circ$

Для $n$-угольника имеется $n$ вершин, а значит, $n$ внутренних и $n$ внешних углов. Сумма всех пар внутренних и внешних углов (по одной паре для каждой вершины) равна:

$\sum_{k=1}^{n} (\alpha_k + \beta_k) = n \cdot 180^\circ$

Известно, что сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле:

$\sum_{k=1}^{n} \alpha_k = (n-2) \cdot 180^\circ$

Обозначим искомую сумму внешних углов как $S_{внешн} = \sum_{k=1}^{n} \beta_k$. Тогда мы можем записать:

$(\sum_{k=1}^{n} \alpha_k) + (\sum_{k=1}^{n} \beta_k) = n \cdot 180^\circ$

Подставим известное значение суммы внутренних углов:

$(n-2) \cdot 180^\circ + S_{внешн} = n \cdot 180^\circ$

Выразим $S_{внешн}$:

$S_{внешн} = n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ$

$S_{внешн} = (n - (n-2)) \cdot 180^\circ$

$S_{внешн} = (n - n + 2) \cdot 180^\circ$

$S_{внешн} = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Таким образом, сумма внешних углов правильного $n$-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу, равна $360^\circ$.

Для правильного $n$-угольника можно прийти к этому же результату другим путем. Все его внешние углы равны между собой. Величина каждого внешнего угла $\beta$ равна $\frac{360^\circ}{n}$. Поскольку у $n$-угольника $n$ таких углов, их сумма будет:

$S_{внешн} = n \cdot \beta = n \cdot \frac{360^\circ}{n} = 360^\circ$

Ответ: $360^\circ$.