Номер 1086, страница 276 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1086, страница 276.

Условие.

1086 Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$. По определению, у правильного многоугольника все стороны и все внутренние углы равны.

У любого правильного многоугольника существует центр $O$, который является одновременно центром вписанной и описанной окружностей.

Докажем, что биссектриса любого внутреннего угла правильного многоугольника проходит через его центр $O$.

Рассмотрим произвольную вершину многоугольника, например $A_k$, и смежные с ней вершины $A_{k-1}$ и $A_{k+1}$ (индексы вершин рассматриваются по модулю $n$). Угол при вершине $A_k$ — это $\angle A_{k-1}A_k A_{k+1}$.

Соединим центр $O$ с вершинами $A_{k-1}$, $A_k$ и $A_{k+1}$. Получим два треугольника: $\triangle OA_{k-1}A_k$ и $\triangle OA_k A_{k+1}$.

Так как $O$ — центр описанной окружности, отрезки $OA_{k-1}$, $OA_k$ и $OA_{k+1}$ являются ее радиусами, следовательно, $OA_{k-1} = OA_k = OA_{k+1}$.

Стороны многоугольника $A_{k-1}A_k$ и $A_k A_{k+1}$ равны по определению правильного многоугольника.

Таким образом, треугольники $\triangle OA_{k-1}A_k$ и $\triangle OA_k A_{k+1}$ равны по трем сторонам (сторона $OA_k$ — общая, $OA_{k-1} = OA_{k+1}$ как радиусы, и $A_{k-1}A_k = A_k A_{k+1}$ как стороны правильного многоугольника).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle OA_k A_{k-1} = \angle OA_k A_{k+1}$.

Это означает, что луч, исходящий из вершины $A_k$ и проходящий через центр $O$, делит угол $\angle A_{k-1}A_k A_{k+1}$ пополам, то есть является его биссектрисой.

Поскольку вершина $A_k$ была выбрана произвольно, мы доказали, что биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит через его центр $O$.

Теперь рассмотрим две произвольные прямые, содержащие биссектрисы углов правильного многоугольника. Пусть это будут биссектрисы углов при вершинах $A_i$ и $A_j$. Обозначим прямые, содержащие эти биссектрисы, как $l_i$ и $l_j$.

Как мы только что доказали, обе прямые $l_i$ и $l_j$ проходят через одну и ту же точку — центр многоугольника $O$.

Для двух прямых на плоскости, имеющих общую точку, возможны только два случая, согласно аксиомам геометрии:

1. Прямые различны ($l_i \neq l_j$). В этом случае они пересекаются в одной-единственной точке. В нашем случае это точка $O$.

2. Прямые не являются различными, то есть они совпадают ($l_i = l_j$). Это происходит, когда вершины $A_i$ и $A_j$ лежат на одной прямой с центром $O$, то есть являются диаметрально противоположными. Такое возможно только для многоугольников с четным числом вершин.

Таким образом, любые две прямые, содержащие биссектрисы углов правильного многоугольника, либо пересекаются (в центре многоугольника), либо совпадают. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.