Номер 1079, страница 276 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1079, страница 276.

Условие.

1079 Какие из следующих утверждений верны:

а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны;

б) треугольник является правильным, если все его углы равны;

в) любой равносторонний треугольник является правильным;

г) любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) По определению, правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Данное утверждение опускает требование равенства углов. Чтобы доказать его неверность, достаточно привести контрпример. Рассмотрим ромб, который не является квадратом. Ромб — это выпуклый четырехугольник, у которого все стороны равны. Однако его углы попарно равны, но не все четыре угла равны между собой (например, могут быть два угла по $70^\circ$ и два по $110^\circ$). Следовательно, такой ромб не является правильным многоугольником, хотя он выпуклый и все его стороны равны.
Ответ: Утверждение неверно.

б) Если все углы треугольника равны, то он является равноугольным. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Если все три угла равны, то каждый из них равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$. В геометрии существует теорема, согласно которой в треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Так как все три угла треугольника равны, то и все три его стороны равны. Таким образом, треугольник является и равносторонним, и равноугольным. Любой треугольник является выпуклой фигурой. Следовательно, такой треугольник является правильным.
Ответ: Утверждение верно.

в) Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Согласно свойству равностороннего треугольника (которое следует из теоремы о том, что против равных сторон лежат равные углы), все его углы также равны и составляют $60^\circ$. Таким образом, любой равносторонний треугольник является одновременно и равноугольным. Так как он является выпуклым, имеет равные стороны и равные углы, он по определению является правильным.
Ответ: Утверждение верно.

г) Четырехугольник с равными сторонами называется ромбом. Правильным четырехугольником является квадрат — у него все стороны равны и все углы прямые ($90^\circ$). Однако не любой ромб является квадратом. Как уже упоминалось в пункте а), ромб может иметь неравные углы (например, два острых и два тупых). Такой ромб не является правильным четырехугольником. Следовательно, утверждение, что любой четырехугольник с равными сторонами является правильным, неверно.
Ответ: Утверждение неверно.