Номер 1077, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1077, страница 269.

Условие.

1077 Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей:

а) описанных около треугольников;

б) вписанных в эти треугольники.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны два подобных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ с коэффициентом подобия $ k $. Это означает, что их соответственные углы равны ($ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $, $ \angle C = \angle C_1 $), а отношение длин соответственных сторон равно $ k $: $ \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k $, где $ a, b, c $ и $ a_1, b_1, c_1 $ — длины соответственных сторон.

а) Докажем, что отношение радиусов описанных окружностей равно коэффициенту подобия. Пусть $ R $ и $ R_1 $ — радиусы окружностей, описанных около $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ соответственно. Согласно следствию из теоремы синусов, радиус описанной окружности треугольника можно найти по формуле $ R = \frac{a}{2\sin A} $. Для $ \triangle ABC $: $ R = \frac{a}{2\sin A} $. Для $ \triangle A_1B_1C_1 $: $ R_1 = \frac{a_1}{2\sin A_1} $.

Найдем отношение радиусов $ R_1 $ и $ R $: $ \frac{R_1}{R} = \frac{\frac{a_1}{2\sin A_1}}{\frac{a}{2\sin A}} $. Поскольку треугольники подобны, их соответственные углы равны, то есть $ \angle A = \angle A_1 $, и, следовательно, $ \sin A = \sin A_1 $. Тогда выражение упрощается до: $ \frac{R_1}{R} = \frac{a_1}{a} $. Так как по определению подобия $ \frac{a_1}{a} = k $, то мы получаем $ \frac{R_1}{R} = k $. Таким образом, коэффициент подобия равен отношению радиусов описанных окружностей, что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение радиусов описанных около подобных треугольников окружностей равно коэффициенту подобия.

б) Докажем, что отношение радиусов вписанных окружностей равно коэффициенту подобия. Пусть $ r $ и $ r_1 $ — радиусы окружностей, вписанных в $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ соответственно. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $ r = \frac{S}{p} $, где $ S $ — площадь треугольника, а $ p $ — его полупериметр. Для $ \triangle ABC $: $ r = \frac{S}{p} $. Для $ \triangle A_1B_1C_1 $: $ r_1 = \frac{S_1}{p_1} $.

Найдем отношение радиусов $ r_1 $ и $ r $: $ \frac{r_1}{r} = \frac{\frac{S_1}{p_1}}{\frac{S}{p}} = \frac{S_1}{S} \cdot \frac{p}{p_1} $.

Отношение периметров (а значит, и полупериметров) подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $ p_1 = \frac{a_1+b_1+c_1}{2} = \frac{ka+kb+kc}{2} = k \cdot \frac{a+b+c}{2} = kp $. Следовательно, $ \frac{p_1}{p} = k $.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $ \frac{S_1}{S} = k^2 $.

Подставим полученные соотношения в формулу для отношения радиусов: $ \frac{r_1}{r} = k^2 \cdot \frac{1}{k} = k $. Таким образом, коэффициент подобия равен отношению радиусов вписанных окружностей, что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение радиусов вписанных в подобные треугольники окружностей равно коэффициенту подобия.