Номер 1070, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1070, страница 268.

Условие.

1070 В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 16$ см и $BC = 8$ см боковая сторона равна $4\sqrt{7}$ см, а $\angle ADC=60^\circ$. Через вершину $C$ проведена прямая $l$, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой $l$, заключённого внутри трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 16$ см и $BC = 8$ см. Боковая сторона равна $4\sqrt{7}$ см, и угол $\angle ADC = 60^\circ$. Так как угол при основании $AD$ дан, логично предположить, что боковая сторона, прилежащая к этому углу, и есть $CD$. Таким образом, $CD = 4\sqrt{7}$ см.

Нахождение площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

1. Найдем высоту трапеции. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$.

2. В треугольнике $\triangle CHD$ катет $CH$ (высота трапеции) противоположен углу $\angle CDH = 60^\circ$, а гипотенуза $CD = 4\sqrt{7}$ см.
$h = CH = CD \cdot \sin(\angle ADC) = 4\sqrt{7} \cdot \sin(60^\circ) = 4\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{21}$ см.

3. Теперь можем найти площадь трапеции $ABCD$:
$S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{16+8}{2} \cdot 2\sqrt{21} = \frac{24}{2} \cdot 2\sqrt{21} = 12 \cdot 2\sqrt{21} = 24\sqrt{21}$ см².

Ответ: $24\sqrt{21}$ см².

Нахождение длины отрезка прямой l

Прямая $l$, проведенная через вершину $C$, делит трапецию на два многоугольника равной площади. Площадь каждого из них равна половине площади трапеции:
$S_{части} = \frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{24\sqrt{21}}{2} = 12\sqrt{21}$ см².

1. Рассмотрим, какую из сторон трапеции пересекает прямая $l$. Прямая выходит из точки $C$. Найдем площадь треугольника $\triangle ACD$:
$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{21} = 16\sqrt{21}$ см².

2. Так как площадь одной из частей ($12\sqrt{21}$) меньше площади треугольника $\triangle ACD$ ($16\sqrt{21}$), то прямая $l$ пересекает основание $AD$. Обозначим точку пересечения как $M$. Отрезок прямой $l$, заключенный внутри трапеции, — это отрезок $CM$.

3. Прямая $l$ делит трапецию на треугольник $\triangle CMD$ и четырехугольник $ABCM$. Площадь треугольника $\triangle CMD$ равна $12\sqrt{21}$ см².

4. Используя формулу площади треугольника, найдем длину отрезка $MD$. Высота треугольника $\triangle CMD$, проведенная из вершины $C$, совпадает с высотой трапеции $h = 2\sqrt{21}$ см.
$S_{\triangle CMD} = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot h$
$12\sqrt{21} = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot 2\sqrt{21}$
$12\sqrt{21} = MD \cdot \sqrt{21}$
$MD = 12$ см.

5. Теперь найдем длину отрезка $CM$ в треугольнике $\triangle CMD$, используя теорему косинусов. Мы знаем две стороны ($CD=4\sqrt{7}$ и $MD=12$) и угол между ними ($\angle CDM = 60^\circ$).
$CM^2 = CD^2 + MD^2 - 2 \cdot CD \cdot MD \cdot \cos(\angle CDM)$
$CM^2 = (4\sqrt{7})^2 + 12^2 - 2 \cdot 4\sqrt{7} \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ)$
$CM^2 = (16 \cdot 7) + 144 - 2 \cdot 4\sqrt{7} \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$
$CM^2 = 112 + 144 - 48\sqrt{7}$
$CM^2 = 256 - 48\sqrt{7}$
$CM = \sqrt{256 - 48\sqrt{7}} = \sqrt{16(16 - 3\sqrt{7})} = 4\sqrt{16 - 3\sqrt{7}}$ см.

Ответ: $4\sqrt{16 - 3\sqrt{7}}$ см.