Номер 1069, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1069, страница 268.

Условие.

1069 $\square$ В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны: $AC = BC$. Острые углы при основании $AB$ равны $45^\circ$.

Для удобства вычислений введем систему координат. Поместим вершину $C$ в начало координат $(0, 0)$, катет $AC$ расположим вдоль оси $Oy$, а катет $BC$ — вдоль оси $Ox$. Пусть длина катетов равна $2a$. Тогда координаты вершин треугольника будут:

$C(0, 0)$
$A(0, 2a)$
$B(2a, 0)$

Медианы проведены из вершин острых углов $A$ и $B$.

1. Медиана из вершины $A$ проводится к середине стороны $BC$. Обозначим эту середину как точку $M$. Координаты точки $M$ равны полусумме координат точек $B$ и $C$:
$M = (\frac{2a+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (a, 0)$.

2. Медиана из вершины $B$ проводится к середине стороны $AC$. Обозначим эту середину как точку $N$. Координаты точки $N$ равны полусумме координат точек $A$ и $C$:
$N = (\frac{0+0}{2}, \frac{2a+0}{2}) = (0, a)$.

Теперь найдем угол между медианами $AM$ и $BN$. Угол между двумя прямыми можно найти через их направляющие векторы. Найдем координаты векторов $\vec{AM}$ и $\vec{BN}$:

$\vec{AM} = \{M_x - A_x; M_y - A_y\} = \{a - 0; 0 - 2a\} = \{a; -2a\}$

$\vec{BN} = \{N_x - B_x; N_y - B_y\} = \{0 - 2a; a - 0\} = \{-2a; a\}$

Косинус угла $\alpha$ между векторами можно найти по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AM} \cdot \vec{BN}}{|\vec{AM}| \cdot |\vec{BN}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AM} \cdot \vec{BN} = (a)(-2a) + (-2a)(a) = -2a^2 - 2a^2 = -4a^2$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AM}| = \sqrt{a^2 + (-2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

$|\vec{BN}| = \sqrt{(-2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{-4a^2}{(a\sqrt{5})(a\sqrt{5})} = \frac{-4a^2}{5a^2} = -\frac{4}{5}$

Полученное значение косинуса отрицательно, что соответствует тупому углу между медианами. Острый угол $\beta$ и тупой угол $\alpha$ между двумя прямыми связаны соотношением $\beta = 180^\circ - \alpha$. Косинусы таких углов равны по модулю и противоположны по знаку: $\cos \beta = -\cos \alpha$.

Следовательно, косинус острого угла между медианами равен:

$\cos \beta = -(-\frac{4}{5}) = \frac{4}{5}$

Таким образом, искомый острый угол $\beta$ равен $\arccos(\frac{4}{5})$.

Ответ: острый угол между медианами равен $\arccos(\frac{4}{5})$.