Номер 1074, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1074, страница 269.

Условие.

1074 Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC и BM = kMC.

Докажите, что

$(1+k)^2 AM^2 = k^2b^2 + 2bck \cos A + c^2,$

где b = AC, c = AB.

Решение

По условию задачи M лежит на отрезке BC и BM = kMC,

поэтому $\vec{BM} = k\vec{MC}$ или $\vec{BM} = k(\vec{BC} - \vec{BM})$. Следовательно,

$\vec{BM} = \frac{k}{1+k} \vec{BC} = \frac{k}{1+k} (\vec{AC} - \vec{AB}).$

По правилу треугольника сложения векторов $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$,

или $\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{k}{1+k} (\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{1+k} \vec{AB} + \frac{k}{1+k} \vec{AC}.$ Таким образом,

$(1+k) \vec{AM} = \vec{AB} + k\vec{AC}.$

Отсюда получаем:

$(1+k)^2 (\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = (\vec{AB} + k\vec{AC}) (\vec{AB} + k\vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2k\vec{AB} \cdot \vec{AC} + k^2\vec{AC} \cdot \vec{AC}.$

Так как

$\vec{AM} \cdot \vec{AM} = AM^2$, $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = c^2$, $\vec{AC} \cdot \vec{AC} = b^2$, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = bc \cos A$,

то полученная формула совпадает с искомой формулой.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Данная задача является обобщением теоремы о длине медианы и известна как теорема Стюарта в векторной форме. Решим ее с помощью векторов.

1. Введем векторы с общим началом в вершине A: $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. По условию, точка M лежит на стороне BC, и $BM = k \cdot MC$. Так как M находится на отрезке BC, векторы $\vec{BM}$ и $\vec{MC}$ сонаправлены. Следовательно, мы можем записать векторное равенство:

$\vec{BM} = k \cdot \vec{MC}$

2. Выразим векторы $\vec{BM}$ и $\vec{MC}$ через векторы с началом в точке A. Вектор $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$. Также, $\vec{MC} = \vec{BC} - \vec{BM}$. Подставим это в наше первое равенство:

$\vec{BM} = k \cdot (\vec{BC} - \vec{BM})$
$\vec{BM} = k \cdot \vec{BC} - k \cdot \vec{BM}$
$\vec{BM} + k \cdot \vec{BM} = k \cdot \vec{BC}$
$(1+k)\vec{BM} = k \cdot \vec{BC}$
$\vec{BM} = \frac{k}{1+k} \vec{BC}$

3. Теперь выразим вектор $\vec{AM}$ по правилу треугольника:

$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$

Подставим сюда найденное выражение для $\vec{BM}$ и выражение для $\vec{BC}$:

$\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{k}{1+k} \vec{BC} = \vec{AB} + \frac{k}{1+k} (\vec{AC} - \vec{AB})$

Сгруппируем коэффициенты при векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AM} = (1 - \frac{k}{1+k})\vec{AB} + \frac{k}{1+k}\vec{AC}$
$\vec{AM} = (\frac{1+k-k}{1+k})\vec{AB} + \frac{k}{1+k}\vec{AC}$
$\vec{AM} = \frac{1}{1+k}\vec{AB} + \frac{k}{1+k}\vec{AC}$

Для удобства дальнейших вычислений умножим обе части равенства на $(1+k)$:

$(1+k)\vec{AM} = \vec{AB} + k\vec{AC}$

4. Возведем обе части полученного векторного равенства в скалярный квадрат (т.е. умножим скалярно каждую часть на саму себя):

$((1+k)\vec{AM}) \cdot ((1+k)\vec{AM}) = (\vec{AB} + k\vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + k\vec{AC})$

$(1+k)^2 (\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = (\vec{AB} \cdot \vec{AB}) + 2k(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + k^2(\vec{AC} \cdot \vec{AC})$

5. Теперь заменим скалярные произведения на выражения с длинами векторов и косинусом угла между ними. По определению скалярного произведения, $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$. Также, $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\alpha$. В нашей задаче используются обозначения $b = AC = |\vec{AC}|$ и $c = AB = |\vec{AB}|$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол A треугольника ABC.

$\vec{AM} \cdot \vec{AM} = |\vec{AM}|^2 = AM^2$
$\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = AB^2 = c^2$
$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}|^2 = AC^2 = b^2$
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos A = c \cdot b \cdot \cos A$

6. Подставим эти выражения в наше равенство:

$(1+k)^2 AM^2 = c^2 + 2k(bc \cos A) + k^2 b^2$

Переставим слагаемые в правой части, чтобы получить вид, указанный в условии задачи:

$(1+k)^2 AM^2 = k^2 b^2 + 2bck \cos A + c^2$

Таким образом, мы доказали требуемое тождество.
Ответ: Равенство $(1+k)^2 AM^2 = k^2 b^2 + 2bck \cos A + c^2$ доказано.