Номер 1074, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1074, страница 269.

Условие.

1074 Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC и BM = kMC.

Докажите, что

$(1+k)^2 AM^2 = k^2b^2 + 2bck \cos A + c^2,$

где b = AC, c = AB.

Решение

По условию задачи M лежит на отрезке BC и BM = kMC,

поэтому $\vec{BM} = k\vec{MC}$ или $\vec{BM} = k(\vec{BC} - \vec{BM})$. Следовательно,

$\vec{BM} = \frac{k}{1+k} \vec{BC} = \frac{k}{1+k} (\vec{AC} - \vec{AB}).$

По правилу треугольника сложения векторов $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$,

или $\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{k}{1+k} (\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{1+k} \vec{AB} + \frac{k}{1+k} \vec{AC}.$ Таким образом,

$(1+k) \vec{AM} = \vec{AB} + k\vec{AC}.$

Отсюда получаем:

$(1+k)^2 (\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = (\vec{AB} + k\vec{AC}) (\vec{AB} + k\vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2k\vec{AB} \cdot \vec{AC} + k^2\vec{AC} \cdot \vec{AC}.$

Так как

$\vec{AM} \cdot \vec{AM} = AM^2$, $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = c^2$, $\vec{AC} \cdot \vec{AC} = b^2$, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = bc \cos A$,

то полученная формула совпадает с искомой формулой.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.