Номер 22, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 22, страница 267.

Условие.

22 Приведите пример использования скалярного произведения векторов при решении геометрических задач.

Решение 4.

Решение 10.

Скалярное произведение векторов является мощным инструментом для решения геометрических задач. Его основные применения:

• Нахождение длины вектора (и, следовательно, длины отрезка): $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$.
• Нахождение угла $\alpha$ между двумя векторами: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
• Проверка перпендикулярности векторов (и, следовательно, прямых или отрезков): векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Рассмотрим конкретный пример, демонстрирующий применение скалярного произведения для доказательства геометрического факта.

Пример: Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Дано: ромб $ABCD$.

Доказать: $AC \perp BD$.

Доказательство:

1. Введем векторы, соответствующие смежным сторонам ромба, выходящим из одной вершины. Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

2. По определению ромба, все его стороны равны. Следовательно, длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

3. Выразим векторы диагоналей через векторы сторон. По правилу сложения и вычитания векторов:

Вектор диагонали $\vec{AC}$ является суммой векторов смежных сторон: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.

Вектор диагонали $\vec{DB}$ является разностью векторов смежных сторон: $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{a} - \vec{b}$.

4. Для доказательства перпендикулярности диагоналей $AC$ и $BD$ необходимо показать, что скалярное произведение соответствующих векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ равно нулю.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения. Полученное выражение является векторным аналогом формулы разности квадратов:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), слагаемые $-\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $+\vec{b} \cdot \vec{a}$ взаимно уничтожаются.

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$.

Тогда выражение принимает вид:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

5. Из пункта 2 мы знаем, что для ромба длины смежных сторон равны ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$), следовательно, равны и их квадраты ($|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$).

Подставим это равенство в полученное выражение:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0$

6. Поскольку скалярное произведение векторов, соответствующих диагоналям, равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами диагонали ромба $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Примером использования скалярного произведения является доказательство перпендикулярности диагоналей ромба. Если представить смежные стороны ромба в виде векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то его диагонали можно выразить как $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$. Их скалярное произведение равно $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$. Так как в ромбе длины сторон равны ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$), скалярное произведение равно нулю, что доказывает перпендикулярность диагоналей.