Номер 1042, страница 264 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1042, страница 264.

Условие.

1042 В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a$ проведена высота $BD$. Вычислите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$;

б) $\vec{AC} \cdot \vec{CB}$;

в) $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$;

г) $\vec{AC} \cdot \vec{AC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и высотой $BD$. В равностороннем треугольнике все стороны равны $a$ и все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$ и $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$. Так как $BD$ – высота, проведенная к стороне $AC$, то $BD \perp AC$.

а) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Скалярное произведение векторов определяется формулой $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен углу при вершине $A$ треугольника $ABC$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Ответ: $\frac{a^2}{2}$.

б) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$.

Для нахождения угла между векторами необходимо, чтобы они исходили из одной точки. Выразим вектор $\vec{AC}$ через вектор, исходящий из точки $C$: $\vec{AC} = -\vec{CA}$. Угол между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ равен углу при вершине $C$, то есть $\angle ACB = 60^\circ$.

$\vec{AC} \cdot \vec{CB} = (-\vec{CA}) \cdot \vec{CB} = -(\vec{CA} \cdot \vec{CB}) = -(|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(\angle ACB)) = -(a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)) = - (a^2 \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$.

Альтернативно, угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ (расположенными "конец к началу") равен внешнему углу при вершине $C$, то есть $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\vec{AC} \cdot \vec{CB} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{2}$.

в) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

По условию, $BD$ — высота, проведенная к стороне $AC$. Это означает, что прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AC$. Следовательно, угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равен $90^\circ$.

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos(90^\circ) = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

г) Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{AC}$ на себя.

Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Длина вектора $\vec{AC}$ равна стороне треугольника $a$.

$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}|^2 = a^2$.

Или, используя общую формулу, угол между вектором и самим собой равен $0^\circ$.

$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(0^\circ) = a \cdot a \cdot 1 = a^2$.

Ответ: $a^2$.