Номер 1038, страница 259 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1038, страница 259.

Условие.

$1038 \Box$ На горе находится башня, высота которой равна $100$ м (рис. $299$). Некоторый предмет $А$ у подножия горы наблюдают сначала с вершины $В$ башни под углом $60^\circ$ к горизонту, а потом с её основания $С$ под углом $30^\circ$. Найдите высоту $Н$ горы.

Рис. $299$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $H$ — искомая высота горы в метрах, а $x$ — горизонтальное расстояние от предмета A до вертикальной оси горы. Обозначим основание башни как точку C, а ее вершину — как точку B. Тогда высота башни $BC = 100$ м.

Согласно условию, предмет A наблюдают с вершины башни B под углом $60^\circ$ к горизонту, а с ее основания C — под углом $30^\circ$. Эти углы являются углами понижения. В геометрии, угол понижения из точки наблюдения на объект равен углу подъема от объекта к точке наблюдения (как накрест лежащие углы при параллельных прямых — горизонталях — и секущей — линии взгляда).

Таким образом, мы можем рассмотреть два прямоугольных треугольника с общим катетом $x$.

1. В первом прямоугольном треугольнике, образованном горой, горизонтальным расстоянием и линией взгляда от основания башни (точка C) до предмета (точка A), катеты равны $H$ (высота горы) и $x$. Угол подъема от A к C равен $30^\circ$. Соотношение между катетами и углом выражается через тангенс:
$\tan(30^\circ) = \frac{H}{x}$

2. Во втором прямоугольном треугольнике, образованном горой вместе с башней, горизонтальным расстоянием и линией взгляда от вершины башни (точка B) до предмета (точка A), катеты равны $(H + 100)$ и $x$. Угол подъема от A к B равен $60^\circ$. Соотношение для этого треугольника:
$\tan(60^\circ) = \frac{H + 100}{x}$

Мы получили систему двух уравнений. Выразим $x$ из каждого уравнения:
$x = \frac{H}{\tan(30^\circ)}$
$x = \frac{H + 100}{\tan(60^\circ)}$

Приравняем правые части этих выражений:
$\frac{H}{\tan(30^\circ)} = \frac{H + 100}{\tan(60^\circ)}$

Подставим табличные значения тангенсов: $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
$\frac{H}{1/\sqrt{3}} = \frac{H + 100}{\sqrt{3}}$
$H \cdot \sqrt{3} = \frac{H + 100}{\sqrt{3}}$

Для решения уравнения умножим обе его части на $\sqrt{3}$:
$H \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = H + 100$
$3H = H + 100$

Теперь найдем $H$:
$3H - H = 100$
$2H = 100$
$H = 50$

Следовательно, высота горы составляет 50 метров.

Ответ: 50 м.