Номер 1031, страница 258 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1031, страница 258.

Условие.

1031 Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны:

а) 5, 4 и 4;

б) 17, 8 и 15;

в) 9, 5 и 6.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по его сторонам $a$, $b$ и $c$, где $c$ – наибольшая сторона, используется следствие из теоремы косинусов. Нужно сравнить квадрат наибольшей стороны ($c^2$) с суммой квадратов двух других сторон ($a^2 + b^2$):

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник остроугольный.
• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник прямоугольный.
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный.

а) Даны стороны 5, 4 и 4. Наибольшая сторона $c=5$, две другие $a=4$ и $b=4$.
Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 5^2 = 25$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.
Сравниваем: $25 < 32$, то есть $c^2 < a^2 + b^2$.
Следовательно, треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.

б) Даны стороны 17, 8 и 15. Наибольшая сторона $c=17$, две другие $a=8$ и $b=15$.
Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 17^2 = 289$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.
Сравниваем: $289 = 289$, то есть $c^2 = a^2 + b^2$.
Следовательно, треугольник является прямоугольным.
Ответ: прямоугольный.

в) Даны стороны 9, 5 и 6. Наибольшая сторона $c=9$, две другие $a=5$ и $b=6$.
Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 9^2 = 81$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.
Сравниваем: $81 > 61$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$.
Следовательно, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.