Номер 1029, страница 258 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1029, страница 258.

Условие.

1029 Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна $a$, а прилежащие к этой стороне углы равны $\alpha$ и $\beta$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $BC = a$, прилежащий к ней угол $\angle C = \alpha$, а другой прилежащий угол $\angle B = \beta$. Тогда третий угол треугольника $\angle A = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Найдем длины биссектрис $l_a, l_b, l_c$, проведенных из вершин $A, B, C$ соответственно.

Биссектриса угла $\alpha$

Найдем длину биссектрисы $l_c$, проведенной из вершины $C$ к стороне $AB$. Пусть $CL = l_c$ — искомая биссектриса, где точка $L$ лежит на стороне $AB$.

Рассмотрим треугольник $BCL$. В нем известны: сторона $BC = a$, угол $\angle B = \beta$ и угол $\angle BCL = \alpha/2$ (так как $CL$ — биссектриса угла $C$).

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle BLC$ равен: $\angle BLC = 180^\circ - (\angle B + \angle BCL) = 180^\circ - (\beta + \alpha/2)$.

Применим к треугольнику $BCL$ теорему синусов:

$\frac{l_c}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle BLC)}$

$\frac{l_c}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(180^\circ - (\beta + \alpha/2))}$

Используя свойство синуса $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\frac{l_c}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(\beta + \alpha/2)}$

Отсюда выражаем $l_c$:

Ответ: $l_c = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\beta + \alpha/2)}$

Биссектриса угла $\beta$

Найдем длину биссектрисы $l_b$, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$. Пусть $BM = l_b$ — искомая биссектриса, где точка $M$ лежит на стороне $AC$.

Рассмотрим треугольник $BCM$. В нем известны: сторона $BC = a$, угол $\angle C = \alpha$ и угол $\angle CBM = \beta/2$ (так как $BM$ — биссектриса угла $B$).

Третий угол $\angle BMC$ равен: $\angle BMC = 180^\circ - (\angle C + \angle CBM) = 180^\circ - (\alpha + \beta/2)$.

Применим к треугольнику $BCM$ теорему синусов:

$\frac{l_b}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle BMC)}$

$\frac{l_b}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta/2))}$

$\frac{l_b}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(\alpha + \beta/2)}$

Отсюда выражаем $l_b$:

Ответ: $l_b = \frac{a \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta/2)}$

Биссектриса третьего угла

Найдем длину биссектрисы $l_a$, проведенной из вершины $A$. Угол при этой вершине равен $\angle A = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Сначала найдем по теореме синусов для треугольника $ABC$ сторону $c = AB$:

$\frac{c}{\sin(\angle C)} = \frac{a}{\sin(\angle A)} \implies \frac{c}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(180^\circ - (\alpha+\beta))}$

$c = \frac{a \sin(\alpha)}{\sin(\alpha+\beta)}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$, где $AD=l_a$ - биссектриса угла $A$. В этом треугольнике известны: сторона $c$, угол $\angle B = \beta$ и угол $\angle BAD = \angle A/2 = \frac{180^\circ - (\alpha + \beta)}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Третий угол $\angle ADB = 180^\circ - \angle B - \angle BAD = 180^\circ - \beta - (90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}) = 90^\circ - \beta + \frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$:

$\frac{l_a}{\sin(\angle B)} = \frac{c}{\sin(\angle ADB)}$

$\frac{l_a}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(90^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2})}$

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ + x) = \cos(x)$, получаем:

$l_a = \frac{c \sin(\beta)}{\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}$

Подставим ранее найденное выражение для $c$:

$l_a = \frac{a \sin(\alpha)}{\sin(\alpha+\beta)} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)} = \frac{a \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha+\beta)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}$

Ответ: $l_a = \frac{a \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha+\beta)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}$