Номер 1026, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1026, страница 257.

Условие.

1026 □ В треугольнике ABC $AC = 12$ см, $\angle A = 75^{\circ}$, $\angle C = 60^{\circ}$. Найдите $AB$ и $S_{ABC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Дано: треугольник $ABC$, в котором сторона $AC = 12$ см, $\angle A = 75^\circ$ и $\angle C = 60^\circ$.

Для начала найдем третий угол треугольника, $\angle B$. Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$.

AB

Чтобы найти длину стороны $AB$, мы можем использовать теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон:

$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставим известные нам значения в эту формулу:

$\frac{AB}{\sin(60^\circ)} = \frac{12}{\sin(45^\circ)}$

Теперь выразим $AB$:

$AB = \frac{12 \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Используем табличные значения синусов: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$AB = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$AB = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{6}}{2} = 6\sqrt{6}$ см.

Ответ: $AB = 6\sqrt{6}$ см.

S_ABC

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, используя длины двух сторон и синус угла между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin(\angle A)$

Мы уже знаем $AC = 12$ см, $AB = 6\sqrt{6}$ см и $\angle A = 75^\circ$. Подставим эти значения:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \sin(75^\circ) = 36\sqrt{6} \cdot \sin(75^\circ)$

Для вычисления $\sin(75^\circ)$ воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Представим $75^\circ$ как $45^\circ + 30^\circ$:

$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$

$\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим найденное значение $\sin(75^\circ)$ в формулу площади:

$S_{ABC} = 36\sqrt{6} \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = 9\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$S_{ABC} = 9(\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{2}) = 9(6 + \sqrt{12})$

Упростим $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$:

$S_{ABC} = 9(6 + 2\sqrt{3}) = 54 + 18\sqrt{3}$ см².

Ответ: $S_{ABC} = 54 + 18\sqrt{3}$ см².